Gọi \(\alpha ,\,\beta ,\,\gamma \) lần lượt là góc giữa các đường thẳng \(OA,\,OB,\,OC\) với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = \cos \alpha + cos\beta + cos\gamma \).A.\({P_{\max }} = 6 \)B.\({P_{\max }} = -6 \)C.\({P

khanhyouk

2 năm trước

Gọi \(\alpha ,\,\beta ,\,\gamma \) lần lượt là góc giữa các đường thẳng \(OA,\,OB,\,OC\) với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\). Tìm giá trị lớn
nhất của biểu thức \(P = \cos \alpha + cos\beta + cos\gamma \).
A.\({P_{\max }} = 6 \)
B.\({P_{\max }} = -6 \)
C.\({P_{\max }} = \sqrt 6 \)
D.\({P_{\max }} =- \sqrt 6 \)

Loga Hóa Học lớp 12

0 lượt thích 23 xem

1 trả lời

Thích Trả lời

huevuthi1611

Đáp án đúng: C
Giải chi tiết:
Trong \(\left( {OBC} \right)\) kẻ \(OM \bot BC\), trong \(\left( {OAM} \right)\) kẻ \(OH \bot AM\) ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot OM\\BC \bot OA\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {OAM} \right) \Rightarrow BC \bot OH\).
Lại có \(OH \bot AM \Rightarrow OH \bot \left( {ABC} \right)\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \angle \left( {OA;\left( {ABC} \right)} \right) = \angle \left( {OA;HA} \right) = \angle OAH = \alpha \\\,\,\,\,\,\,\angle \left( {OB;\left( {ABC} \right)} \right) = \angle \left( {OB;HB} \right) = \angle OBH = \beta \\\,\,\,\,\,\angle \left( {OC;\left( {ABC} \right)} \right) = \angle \left( {OC;HC} \right) = \angle OCH = \gamma \end{array}\)
Ta có: \(\sin \alpha = \dfrac{{OH}}{{OA}};\,\,\sin \beta = \dfrac{{OH}}{{OB}};\,\,\sin \gamma = \dfrac{{OH}}{{OC}}\)
\( \Rightarrow {\sin ^2}\alpha + {\sin ^2}\beta + {\sin ^2}\gamma = O{H^2}\left( {\dfrac{1}{{O{A^2}}} + \dfrac{1}{{O{B^2}}} + \dfrac{1}{{O{C^2}}}} \right)\)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông OBC ta có \(\dfrac{1}{{O{B^2}}} + \dfrac{1}{{O{C^2}}} = \dfrac{1}{{O{M^2}}}\).
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông OAM ta có:
\(\dfrac{1}{{O{A^2}}} + \dfrac{1}{{O{M^2}}} = \dfrac{1}{{O{H^2}}} \Rightarrow \dfrac{1}{{O{A^2}}} + \dfrac{1}{{O{B^2}}} + \dfrac{1}{{O{C^2}}} = \dfrac{1}{{O{H^2}}}\)
\( \Rightarrow {\sin ^2}\alpha + {\sin ^2}\beta + {\sin ^2}\gamma = O{H^2}\left( {\dfrac{1}{{O{A^2}}} + \dfrac{1}{{O{B^2}}} + \dfrac{1}{{O{C^2}}}} \right) = O{H^2}.\dfrac{1}{{O{H^2}}} = 1\).
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có:
\(\begin{array}{l}{P^2} = {\left( {P = \cos \alpha + cos\beta + cos\gamma } \right)^2} \le \left( {{1^2} + {1^2} + {1^2}} \right)\left( {{{\cos }^2}\alpha + co{s^2}\beta + co{s^2}\gamma } \right)\\ \Rightarrow {P^2} \le 3\left[ {3 - \left( {{{\sin }^2}\alpha + {{\sin }^2}\beta + {{\sin }^2}\gamma } \right)} \right] = 3\left[ {3 - 1} \right] = 6\\ \Leftrightarrow - \sqrt 6 \le P \le \sqrt 6 \end{array}\)
Vậy \({P_{\max }} = \sqrt 6 \). Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \cos \alpha = \cos \beta = \cos \gamma = \dfrac{{\sqrt 6 }}{3}\).

Vote (0) Phản hồi (0) 2 năm trước

Các câu hỏi liên quan

\(\lim \dfrac{{3{n^2} + 1}}{{{n^2} - 2}}.\)
A.\(3\)
B.\( +\infty\)
C.\(-3\)
D.\( -\infty\)

Qua N kẻ đường thẳng vuông góc với AC cắt tia MK tại F. Chứng minh ∆ NFK cân.
A.#VALUE!
B.#VALUE!
C.#VALUE!
D.#VALUE!

\(\lim \dfrac{{3{n^2} + 1}}{{{n^2} - 2}}.\)
A.\(3\)
B.\( +\infty\)
C.\(-3\)
D.\( -\infty\)

Cho hàm số \(f(x) = - {x^3} + 3m{x^2} - 12x + 3\) với \(m\) là tham số thực. Số giá trị nguyên của \(m\) để \(f'(x) \le 0\) với \(\forall x \in \mathbb{R}\) là
A.1
B.5
C.4
D.3

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{\sqrt {{x^2} + 2018} }}{{x + 1}}\) bằng
A.\( - 1.\)
B.\(1.\)
C.\( - \infty .\)
D.\( - 2018.\)

\(\lim \dfrac{{2n + 1}}{{n + 1}}\) bằng
A.\( + \infty .\)
B.\(1.\)
C.\( - 2.\)
D.\(2.\)

Một chuyển động có phương trình \(s(t) = {t^2} - 2t + 3\) ( trong đó \(s\) tính bằng mét, \(t\) tính bằng giây). Vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm \(t = 2s\) là
A.\(6\left( {m/s} \right).\)
B.\(4\left( {m/s} \right).\)
C.\(8\left( {m/s} \right).\)
D.\(2\left( {m/s} \right).\)

Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của \(x\) để ba số \(1\,;\,\,x\,;\,\,x + 2\) theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân?
A.\(2.\)
B.\(3.\)
C.\(1.\)
D.\(0.\)

Cho \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{{x^3} - 1}}{{{x^2} - 1}} = \dfrac{a}{b}\) với \(a,b\) là các số nguyên dương và \(\dfrac{a}{b}\) là phân số tối giản. Tính tổng \(S = a + b\).
A.\(10.\)
B.\(5.\)
C.\(3.\)
D.\(4.\)

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh bằng \(2a\), \(SA = SB = SC = SD = 2a\). Gọi \(\varphi \) là góc giữa mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\) và \(\left( {ABCD} \right)\). Mệnh đề nào dưới đây là đúng ?
A.\(\tan \varphi = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}.\)
B.\(\tan \varphi = \sqrt 3 .\)
C.\(\tan \varphi = 2.\)
D.\(\tan \varphi = \sqrt 2 .\)

Loga.vn - Cộng Đồng Luyện Thi Trực Tuyến