Giải thích các bước giải:
Lưu ý: ở đây c chỉ giải đáp cho em một ý, các ý còn lại em chia nhỏ ra để hỏi nhé.
a) Ta có
\(B=1+2+3+...+99+100\)
\(=(1+100)+(2+99)+...+(49+52)+(50+51)\)
\(=101+101+...+101+101\) (có \(50\) số \(101\)
\(=101.50\)
Để chứng minh \(A\vdots B\) ta chứng minh \(A\vdots 101\) và \(A\vdots 50\)
Có \(A=1^{3}+2^{3}+3^{3}+...+99^{3}+100^{3}\)
\(=(1^{3}+100^{3})+(2^{3}+99^{3})+...+(50^{3}+51^{3})\)
\(=(1+100)(1^{2}-1.100+100^{2})+(2+99)(2^{2}-2.99+99^{2})+...+(50+51)(50^{2}-50.51+51^{2})\)
\(=101.(1-100+100^{2}+2^{2}-2.99+99^{2}+3^{2}-3.98+98^{2}+...+50^{2}-50.51+51^{2})\)
\(\Rightarrow A\vdots 101\)
Lại có
\(A=(1^{3}+99^{3})+(2^{3}+98^{3})+...+(51^{3}+49^{3})+50^{3}+100^{3}\)
\(=100.(1-99+99^{2}+2^{2}-2.98+98^{2}+...+49^{2}-49.51+51^{2})+50^{3}+100^{3}\)
Do cả 3 số của tổng trên đều chia hết cho 50
\(\Rightarrow A\vdots 50\)
Vậy ta có điều phải chứng minh
