Điều kiện

\(x+1e0\Leftrightarrow xe-1\) (*)

Với điều kiện đó

* Nếu \(m=1\) thì phương trình vô nghĩa, do đó vô nghiệm

* Nếu \(me1\) thì

\(\frac{x-3}{m-1}=\frac{1}{x+1}\Leftrightarrow\left(x-3\right)\left(x+1\right)=m-1\Leftrightarrow f\left(x\right):=x^2-2x-m-2=0\)

Phương trình bậc hai \(x^2-2x-m-2=0\) có \(\Delta'=m+3\). Xét các trường hợp sau :

* Nếu \(\Delta'<0\)

hay \(m<-3\)

thì \(x^2-2x-m-2=0\) vô nghiệm

* Nếu \(\Delta'\ge0\)

hay \(m\ge-3;me1\)

thì \(x^2-2x-m-2=0\) có hai nghiệm

\(x_{1;2}=1\pm\sqrt{m+3}\)

Do \(me1\) nên \(f\left(-1\right)=\left(-1\right)^2-2\left(-1\right)-m-2=1-me0\)

hay là với mọi \(me1\),

phương trình \(x^2-2x-m-2=0\)

không có nghiệm \(x=-1\)

Nói cách khác, hai nghiệm \(x_{1;2}\) cùng thỏa mãn điều kiện (*). Ta có kết luận :

- Khi \(m<-3\) hoặc \(m=1\) Phương trình vô nghiệm

- Khi \(m\ge-3\) hoặc \(me1\) Phương trình co hai nghiệm \(x=1\pm\sqrt{m+3}\)