Đáp án đúng:
Giải chi tiết:
1) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SCD} \right).\) Chứng minh rằng đường thẳng \(MN\) song song với mặt phẳng \(\left( {SAB} \right).\)
+) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AB \subset \left( {SAB} \right)\\CD \subset \left( {SCD} \right)\\AB//CD\\\left( {SAB} \right) \cap \left( {SCD} \right) = Sx\end{array} \right.\) \( \Rightarrow Sx//AB//CD\)
Do đó giao tuyến của \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SCD} \right)\) là đường thẳng \(Sx\) đi qua \(S\) và song song với \(AB,CD\).
+) Dễ thấy \(MN \not\subset \left( {SAB} \right)\).
Trong tam giác \(SCD\) có \(M,N\) là trung điểm \(SC,SD\) nên \(MN\) là đường trung bình của tam giác \(SCD\).
Khi đó \(MN//CD\), mà \(CD//AB\) nên \(MN//AB\).
Mà \(AB \subset \left( {SAB} \right)\) nên \(MN//\left( {SAB} \right)\) (đpcm).
2) Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng \(\left( {OMN} \right).\) Thiết diện là hình gì, tại sao ?
Xét ba mặt phẳng \(\left( {OMN} \right),\left( {SCD} \right),\left( {ABCD} \right)\) có:
\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {OMN} \right) \cap \left( {SCD} \right) = MN\\\left( {SCD} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = CD\\\left( {OMN} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = Ot\\MN//CD\end{array} \right.\) \( \Rightarrow MN//CD//Ot\).
Do đó \(\left( {OMN} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = Ot\) là đường thẳng đi qua \(O\) và song song với \(CD\).
Kẻ đường thẳng qua \(O\) và song song \(CD\) cắt \(AD,BC\) lần lượt tại \(E,F\).
Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {OMN} \right) \cap \left( {SCD} \right) = MN\\\left( {OMN} \right) \cap \left( {SAD} \right) = NE\\\left( {OMN} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = EF\\\left( {OMN} \right) \cap \left( {SBC} \right) = MF\end{array} \right.\)
Vậy thiết diện là tứ giác \(MNEF\).
Ngoài ra \(MN//CD,EF//CD\) \( \Rightarrow MN//EF\).
Vậy thiết diện là hình thang.
3) Gọi \(I\) là trung điểm của cạnh \(CD,\,\,G\) là trọng tâm của tam giác \(SAB.\) Tìm giao điểm \(K\) của \(IG\) và \(\left( {OMN} \right).\) Tính tỉ số \(\frac{{IK}}{{IG}}.\)
*) Tìm giao điểm của \(IG\) với \(\left( {OMN} \right)\).
+) Gọi \(P\) là trung điểm của \(AB\). Dễ thấy \(IG \subset \left( {SIP} \right)\).
+) Ta tìm giao tuyến của \(\left( {SIP} \right)\) với \(\left( {OMN} \right)\).
Vì \(I,P\) là trung điểm của \(CD,AB\) nên \(O \in IP \subset \left( {SIP} \right)\).
Mà \(O \in \left( {OMN} \right) \Rightarrow O \in \left( {SIP} \right) \cap \left( {OMN} \right)\) (1)
Trong \(\left( {SCD} \right)\), gọi \(H = SI \cap MN\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}H \in SI \subset \left( {SIP} \right)\\H \in MN \subset \left( {OMN} \right)\end{array} \right.\) \( \Rightarrow H \in \left( {SIP} \right) \cap \left( {OMN} \right)\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(OH = \left( {SIP} \right) \cap \left( {OMN} \right)\).
+) Trong \(\left( {SIP} \right)\), gọi \(K = OH \cap IG\).
Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}K \in OH \subset \left( {OMN} \right)\\K \in IG\end{array} \right.\) \( \Rightarrow K = IG \cap \left( {OMN} \right)\).
*) Tính \(\frac{{IK}}{{IG}}\).
Trong \(\Delta SCI\) có \(M\) là trung điểm \(SC\) và \(MH//CI\) nên \(H\) là trung điểm của \(SI\).
Trong \(\Delta SIP\) có \(\frac{{SH}}{{SI}} = \frac{1}{2}\) và \(\frac{{PO}}{{PI}} = \frac{1}{2}\) nên \(\frac{{SH}}{{SI}} = \frac{{PO}}{{PI}} = \frac{1}{2}\).
Theo định lý Ta – let ta có \(OH//SP\) hay \(OK//PG\).
Trong \(\Delta IPG\) có \(O\) là trung điểm \(IP\) và \(OK//PG\) nên \(K\) là trung điểm \(IO\).
Vậy \(\frac{{IK}}{{IG}} = \frac{1}{2}\).