Giải thích các bước giải:
a, ME ║ AH mà AH ⊥ BC ⇒ ME ⊥ BC hay ME ⊥ MH
AE ║ BC mà AH ⊥ BC ⇒ AE ⊥ AH
Tứ giác AHME có 3 góc vuông: $\widehat{A}$, $\widehat{H}$, $\widehat{M}$
⇒ AHME là hình chữ nhật mà HA = HM (gt)
⇒ AHME là hình vuông
b, Xét 2 tam giác vuông ΔAEF và ΔAHB có:
AE = AH (= HM); $\widehat{EAF}$ = $\widehat{HAB}$ (cùng phụ với $\widehat{HAF}$)
⇒ ΔAEF = ΔAHB (cgv - gn)
⇒ AF = AB (đpcm)
c, Xét ΔABF vuông tại A có FN là trung tuyến ứng với cạnh huyền
⇒ NA = NF = NB
Xét ΔFMB vuông tại M có MN là trung tuyến ứng với cạnh huyền
⇒ MN = NF = NB
Suy ra: MN = NA
Xét ΔHNA và ΔHNM có:
NA = NM; HN chungl AH = MH (gt)
⇒ ΔHNA = ΔHNM (c.c.c)
⇒ $\widehat{NHA}$ = $\widehat{NHM}$ mà 2 góc này phụ nhau
⇒ $\widehat{NHA}$ = $\widehat{NHM}$ = $45^{o}$
mà $\widehat{EHA}$ = $45^{o}$ (AHME là hình vuông)
⇒ H, N, E thẳng hàng (đpcm)
d, Ta có:
$S_{AHME}$ = $AH^{2}$
$S_{ABC}$ = $\frac{1}{2}$.AH.BC
⇒ Để $S_{AHME}$ = $S_{ABC}$ thì $AH^{2}$ = $\frac{1}{2}$.AH.BC
⇔ AH = $\frac{1}{2}$.BC
⇔ ΔABC vuông cân tại A