Trước đây người ta cho rằng toán học là khoa học về quan hệ giữa số lượng và hình dạng không gian của thế giới hiện thực. Vì vậy người ta xếp toán học vào hàng ngũ các khoa học tự nhiên. Lúc đầu thì đúng như vậy. Nhưng ta thử tìm hiểu đối tượng nghiên cứu của những khoa học trên. Các nhà hóa học nghiên cứu các chất và các phản ứng tương tác giữa chúng, các nhà sinh học nghiên cứu động vật và thực vật, còn các nhà thiên văn học thì nghiên cứu các thiên thể và toàn bộ vũ trụ. Đó đều là những hiện tượng tự nhiên. Vì vậy người ta xếp vật lý, hóa học, sinh vật học, thiên văn học... là các khoa học tự nhiên. Trước khi có các nhà thiên văn học thì đã có các hành tinh. Nếu không có các nhà sinh vật học thì động vật và thực vật vẫn tồn tại. Còn toán học nghiên cứu cái gì nhỉ? Toán học nghiên cứu điểm, đường thẳng, con số, các phương trình, các hình... Đó là những cái mà con người nghĩ ra, do các nhà toán học nghĩ ra. Đấy là sự khác nhau giữa toán học và các khoa học tự nhiên khác. Muốn nghiên cứu một đối tượng hay một hiện tượng nào bằng phương tiện toán học thì ta phải gạt bỏ tất cả đặc điểm về chất của đối tượng và hiện tượng, chỉ giữ lại những đặc trưng cho số lượng và hình dạng của chúng và trừu tượng dần lên. Đối tượng nghiên cứu của toán học là những cái không phải trong tự nhiên. Đó là những gì mà các nhà toán học nghĩ ra. Trong tự nhiên, vẫn có những vật mà toán học nghiên cứu. Cái vành nón, cái vành xe đạp, cái vành mâm là những hình ảnh của hình tròn. Từ thực tiễn có các vật đó, các nhà toán học mới nghĩ ra một hình hình học là hình tròn. Vì thế giống như nghệ thuật, toán học là phương tiện độc đáo của nhận thức. Giống như các hình tượng nghệ thuật, các hình ảnh toán học là một hình thức đặc biệt của toán học dùng để phản ánh thực tiễn. Nhưng mỗi người tưởng tượng theo một cách, tưởng tượng khác nhau thì sẽ dẫn đến các khái niệm khác nhau, tuy vậy nó vẫn theo quy luật tư duy. Ví dụ để định nghĩa hình vuông người ta phải dựa vào hình chữ nhật hoặc dựa vào hình bình hành, muốn định nghĩa hình bình hành thì cần định nghĩa tứ giác, muốn định nghĩa tứ giác thì cần định nghĩa đường gấp khúc... Cứ như thế mãi đến cuối cùng các nhà toán học đều thống nhất là phải công nhận một số khái niệm cơ bản như điểm, đường thẳng, mặt phẳng... Do đó dù là ở châu Á, châu Phi, châu Mỹ hay bất kỳ đâu thì cứ nói đến hình vuông người ta đều tưởng tượng ra đó là hình có 4 cạnh bằng nhau và 4 góc vuông. Và hai đường chéo của hình vuông là bằng nhau, bằng nhau mà không thể có hai vật gì trong tự nhiên có thể bằng nhau như thế được. Điều này cũng tương tự như con rồng tuy không có trong thực tế nhưng được người Trung Hoa và người Việt Nam tưởng tượng nên khá giống nhau. Còn việc trừu tượng có thể theo hướng này, hướng khác sẽ nảy sinh các khái niệm khác nhau và vì vậy mới làm cho toán học phát triển. Ngày nay toán học đã nghiên cứu các khái niệm trừu tượng hơn rất nhiều so với các quan niệm về số và công thức. Các khái niệm đó sinh ra vô số vấn đề và muốn giải quyết chúng, ta phải đưa ra những khái niệm khác còn trừu tượng hơn. Thế thì làm sao có thể ứng dụng toán học vào cuộc sống? Toán học có thể ứng dụng vào cuộc sống một cách trực tiếp nhờ giải các bài toán đặt ra từ thực tiễn. Song nhiều hơn cả là hàng năm, hàng chục năm sau nó được ứng dụng rất bất ngờ vào cuộc sống. Ví dụ lý thuyết nhóm chính thức ra đời vào giữa thế kỷ XIX mà mãi đến 1890 nhà bác học Nga Phêđôrôp mới dùng lý thuyết này vào nghiên cứu tinh thể học, giải quyết bài toán phân loại các mạng tinh thể trong không gian. Sau đó lý thuyết nhóm trở thành công cụ nghiên cứu có hiệu lực của cơ học lượng tử (một ngành của vật lý). Chính vì thế người ta đã gọi toán học là người đầy tớ và là hoàng hậu của mọi khoa học. Để nghiên cứu toán học thì một nhà toán học làm việc cần mẫn suốt đời cũng chỉ có thể nắm được khoảng 5% tri thức toán học hiện đại. Do tính chất hiện đại ấy mà toán học vừa là khoa học cổ xưa nhất, vừa là khoa học trẻ nhất. Toán học thế kỷ XX là một cây đại thụ khổng lồ mà muôn cành nhánh của nó đâm chồi, nảy lộc trên gốc cây là toán học cổ truyền. Thế kỷ XXI, toán học đang tiếp tục phát triển mạnh mẽ.