Bài 1:
Chứng minh \(4mn(m^2-n^2)\vdots 8\)
+ Nếu \(m,n\) khác tính chẵn lẻ thì suy ra tồn tại một số chẵn và một số lẻ, do đó \(mn\vdots 2\Rightarrow 4mn(m^2-n^2)\vdots 8\)
+ Nếu \(m,n\) cùng tính chẵn lẻ thì \(m^2-n^2\vdots 2\Rightarrow 4mn(m^2-n^2)\vdots 8\)
Như vậy, \(4mn(m^2-n^2)\vdots 8\) \((1)\)
Chứng minh \(4mn(m^2-n^2)\vdots 3\)
+ Nếu tồn tại một trong hai số $m,n$ chia hết cho $3$ thì \(4mn(m^2-n^2)\vdots 3\)
+ Nếu cả hai số $m,n$ đều không chia hết cho $3$
Ta biết rằng một số chính phương chia 3 thì chỉ có thể có dư là $0$ hoặc $1$. Mà \(m,not\vdots 3\Rightarrow m^2\equiv n^2\equiv 1\pmod 3\Rightarrow m^2-n^2\vdots 3\)
\(\Rightarrow 4mn(m^2-n^2)\vdots 3\)
Như vậy, \(4mn(m^2-n^2)\vdots 3(2)\)
Từ \((1),(2)\) và $3,8$ nguyên tố cùng nhau nên \(4mn(m^2-n^2)\vdots 24\)
Ta có đpcm.
