a) \(Q=2x-2-3x^2\)
\(=-\left(3x^2-2x+2\right)\)
\(=-3\left(x^2-\dfrac{2}{3}x+\dfrac{2}{3}\right)\)
\(=-3\left(x^2-\dfrac{2}{3}x+\dfrac{1}{9}+\dfrac{5}{9}\right)\)
\(=-3\left(x-\dfrac{1}{3}\right)^2-\dfrac{5}{3}\)
Ta có: \(-3\left(x-\dfrac{1}{3}\right)^2\le0\forall x\Rightarrow-3\left(x-\dfrac{1}{3}\right)^2-\dfrac{5}{3}\le-\dfrac{5}{3}\forall x\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x-\dfrac{1}{3}=0\) hay x = \(\dfrac{1}{3}\)
Vậy GTLN của Q bằng \(-\dfrac{5}{3}\) khi x = \(\dfrac{1}{3}\).
b) \(R=2-x^2-y^2-2\left(x+y\right)\)
\(=-\left(x^2+y^2+2\left(x+y\right)-2\right)\)
\(=-\left(x^2+y^2+2x+2y-2\right)\)
\(=-\left(x^2+2x+1+y^2+2y+1-4\right)\)
\(=-\left[\left(x+1\right)^2+\left(y+1\right)^2\right]+4\)
Ta có: \(-\left[\left(x+1\right)^2+\left(y+1\right)^2\right]\le0\forall x,y\Rightarrow-\left[\left(x+1\right)^2+\left(y+1\right)^2\right]+4\le4\forall x,y\)
Dấu "=" xảy ra khi x + 1 = 0 và y + 1 = 0
hay x = -1 và y = -1
Vậy GTLN của R bằng 4 khi x = -1 và y = -1.
c) \(S=-x^2+4x-9\)
\(=-\left(x^2-4x+9\right)\)
\(=-\left(x^2-4x+4+5\right)\)
\(=-\left(x-2\right)^2-5\)
Ta có: \(-\left(x-2\right)^2\le0\forall x\Rightarrow-\left(x-2\right)^2-5\le-5\forall x\)
Dấu "=" xảy ra khi x - 2 = 0 hay x = 2
Vậy GTLN của S bằng -5 khi x = 2.
