Điều kiện của tham số m để hàm số $y=\frac{{m{{x}^{2}}-1}}{x}$ có hai điểm cực trị A, B và độ dài đoạn AB ngắn nhất là? A. $\frac{1}{2}.$ B. $1.$ C. $2.$ D. $-\frac{1}{2}.$
Đáp án đúng: D + Ta có ${{y}^{'}}=\frac{{m{{x}^{2}}+1}}{{{{x}^{2}}}}.$ Hàm số có hai cực trị khi và chỉ khi${{y}^{'}}=0$ có hai nghiệm phân biệt khác 0 khi và chỉ khi m<0. +$A\left( {-\frac{1}{{\sqrt{{-m}}}};2\sqrt{{-m}}} \right),B\left( {\frac{1}{{\sqrt{{-m}}}};-2\sqrt{{-m}}} \right)=>A{{B}^{2}}=\frac{4}{{(-m)}}+16(-m)\ge 16$ (Áp dụng BĐT Cô-si). Vậy$m=-\frac{1}{2}$ thỏa mãn đề bài.