Bài 4: 
a. Xét tam giác ABH và tam giác ACH, ta có:
AB = AC ( giả thiết )
BH = CH ( H là trung điểm BC )
AH là cạnh chung
⇒ Tam giác ABH = tam giác ACH ( cạnh - cạnh - cạnh )

b. Xét tam giác ABC có, AB = AC ( giả thiết ) 
⇒ Tam giác ABC cân tại A
mà AH là đường trung tuyến ( giả thiết )
⇒ AH vừa là đường cao của tam giác ABC ( tính chất tam giác cân )

Tam giác ABC có AH là đường cao ( chứng minh trên ) và BH = HC ( H là trung điểm của BC )
⇒ AH là đường trung trực của tam giác ABC

c. Ta có: Chứng minh 2 tam giác vuông AHB và IHC ( 2 cạnh góc vuông )
⇒ Góc BAH = góc CIH ( 2 góc tương ứng bằng nhau )
⇒ AB // IC 

d. Ta có: Góc BAH = góc CIH ( chứng minh trên ) 
mà góc BAH = góc CAH ( AH vừa là phân giác của tam giác ABC cân tại A ) 
Từ hai điều này ⇒ Góc CAH = góc CIH

Bài 5:
Cách 1:
Áp dụng định lí Pytago cho tam giác ABC vuông tại B, ta có:
AB = $\sqrt{( 16 +9)^{2} + 20^{2}}= 15$ $(cm)$ 

Cách 2:
Áp dụng định lí Pytago cho tam giác CHB vuông tại H, ta có:
HB = $\sqrt{20^{2} - 16^{2}}= 12$ $(cm)$
Áp dụng định lí Pytago cho tam giác AHB vuông tại H, ta có:
AB = $\sqrt{9^{2} + 12^{2}}=15$ $(cm)$ 

Bài 6:
a. Tam giác ABC cân tại A ( giả thiết ) ⇒ Góc B = góc C 
Góc B = góc C = $\dfrac{180^{o} - 50^{o}}{2} = 65^{o}$

b. Tam giác ABC cân tại A ( giả thiết ) có AH là đường cao ( giả thiết )
⇒ AH là đường trung tuyến của tam giác ABC cân tại A ( tính chất tam giác cân )

Xét hai tam giác vuông AHB và AHC, ta có:
AH là cạnh chung
BH = HC ( AH là đường trung tuyến )
⇒ Tam giác AHB = Tam giác AHC ( hai cạnh góc vuông ) 

c. Ta có: H là trung điểm của BC ( AH là đường trung tuyến của tam giác ABC cân tại A )
⇒ BH = $\dfrac{16}{2} = 8$ $(cm)$
Áp dụng định lí Pytago cho tam giác ABH vuông tại H, ta có:
$AB^{2} = BH^{2} + AH{2}$ 
=> $AH^{2} = AB^{2} - BH^{2}$
hay $AH^{2} = 17^{2} -  8^{2} = 225$
=> \(\left[ \begin{array}{l}AH=\sqrt{225} \\AH=-\sqrt{225} ( loại)\end{array} \right.\)
=> $AH = \sqrt{225} = 15$ $(cm)$

d. Gọi I là giao điểm của CN và BM 
Xét hai tam giác vuông BIH và CIH, ta có:
BH = CH ( AH là đường trung tuyến của tam giác ABC cân tại A )
IH là cạnh chung 
⇒ Tam giác BIH = tam giác CIH ( hai cạnh góc vuông )
⇒ Góc IBC = góc ICB ( hai góc tương ứng bằng nhau )

Ta có: Góc B = Góc C ( tam giác ABC cân tại A)
hay góc ABM + góc IBC = góc ACN + ICB
mà góc IBC = góc ICB ( chứng minh trên ) 
⇒ Góc ABM = góc ACN

Xét tam giác ABM và tam giác ACN, ta có:
Góc A là góc chung
AB = BC ( giả thiết )
Góc ABM = góc ACN ( chứng minh trên ) 
⇒ Tam giác ABM = tam giác ACN ( góc - cạnh - góc ) 
⇒ BM = CN ( hai cạnh tương ứng bằng nhau )

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

 a) Xét tan giác ABH và tam giác ACH có

AB=AC

BH=HC(H là trung điểm BC)

AH là cạnh chung

=>tam giác ABH=tam giác ACH(c.c.c)
b)tam giác ABH=tam giác ACH

=> góc AHB=góc AHC

Ta có góc AHB + góc AHC=180 (hai góc kề bù)

mà góc AHB=góc AHC

=>góc AHB=góc AHC=180/2=90  (1)

Từ A xuống H mà H là TĐ của BC (2)

Từ 1 và 2=>AH là trung trực của BC

c)Xét tam giác ABH và tam giác ICH có

AH=HI

GÓC BHA= GÓC IHC(hai góc đối đỉnh)

BH=HC

TAmgiác ABH =tam giác ICH 

=>góc BAH= góc HIC 

mà 2 góc này ở vị trí so le trongg 

=> AB//IC(dấu hiệu)

d)Vì góc BAH= góc HIC (vì AB//IC)

mà góc BAH = góc HAC(hai góc tương ứng của tam giác BAH = tam giác CAH)

=> góc CAH = góc CIH