a) Xét 2 tam giác vuông $\Delta ABM$ và $\Delta DBM$ có:
$BM$ chung
$\widehat{ABM}=\widehat{DBM}$ (do $BM$ là phân giác $\widehat B$)
$\Rightarrow \Delta ABM=\Delta DBM$ (cạnh huyền- góc nhọn)
$\Rightarrow BA=BD$ (hai cạnh tương ứng)
b) Xét 2 tam giác vuông $\Delta ABC$ và $\Delta DBE$ có:
$BA=BD$ (chứng minh ở câu a)
$\widehat B$ chung
$\Rightarrow \Delta ABC=\Delta DBE$ (cạnh góc vuông- góc nhọn)
c) Xét 2 tam giác vuông $\Delta AMK$ và $\Delta DMH$ có:
$AM=DM$ (hai cạnh tương ứng do $\Delta ABM=\Delta DBM$)
$\widehat{AMK}=\widehat{DMH}$ (đối đỉnh)
$\Rightarrow \Delta AMK=\Delta DMH$ (cạnh huyền-góc nhọn)
$\Rightarrow MK=MH$ (hai cạnh tương ứng)
Xét 2 tam giác vuông $\Delta MNK$ và $\Delta MNH$ có:
$MK=MH$ (cmt)
$MN$ chung
$\Rightarrow \Delta MNK=\Delta MNH$ (cạnh huyền-cạnh góc vuông)
$\Rightarrow\widehat{MNK}=\widehat{MNH}$ (hai góc tương ứng)
$\Rightarrow NM$ là tia phân giác của $\widehat{HNK}$ (đpcm) (1)
d) Do $AK=DH$ (hai cạnh tương ứng $\Delta AMK=\Delta DMH$)
$KN=HN$ (hai cạnh tương ứng $ \Delta MNK=\Delta MNH$)
$\Rightarrow AN=AK+KN=DH+HN=DN$
Xét $ \Delta ABN$ và $\Delta DBN$ có:
$AB=DB$ (cmt)
$BN$ chung
$AN=BN$ (cmt)
$\Rightarrow \Delta ABN=\Delta DBN$ (c.c.c)
$\Rightarrow\widehat{ANB}=\widehat{DNB}$ (hai góc tương ứng)
$\Rightarrow NB$ là tia phân giác $\widehat{AND}$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra $B, M, N$ thẳng hàng.
