Ta có :A=\(25\left(1^2+2^2+3^2+...+475^2\right)\)
\(\text{Đ}\text{ặt}B=\)\(1^2+2^2+3^2+...+475^2\)
Ta có công thức :\(1^2+2^2+...+n^2=\dfrac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6}\) với mọi số tự nhiên n (1)
Chứng minh:
- Với n=1 ta có :\(1^2=\dfrac{1\left(1+1\right)\left(2.1+1\right)}{6}\)
vậy (1) đúng với n=1
-Giả sử (1) đúng với n=k , tức là :
\(1^2+2^2+...+k^2=\dfrac{k\left(k+1\right)\left(2k+1\right)}{6}\)
-Ta cần chứng minh (1) cũng đúng với n=k+1.tức là :
\(1^2+2^2+...+\left(k+1\right)^2=\dfrac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left(2k+3\right)}{6}\)
Thật vậy : \(1^2+2^2+...+k^2+\left(k+1\right)^2=\left(1^2+2^2+...+k^2\right)+\left(k+1\right)^2\)
\(=\dfrac{k\left(k+1\right)\left(2k+1\right)}{6}+\left(k+1\right)^2=\left(k+1\right).\dfrac{2k^2+7k+6}{6}=\dfrac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left(2k+3\right)}{6}\)Dó đó :\(1^2+2^2+...+n^2=\dfrac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6}\)
Áp dụng công thức ta được :\(B=\dfrac{475.476.951}{6}=35836850\)
Vậy A=25B=25.35836850=895921250
