Đáp án đúng: C

Phương pháp giải:
a) Chứng minh phương trình có \(\Delta  \ge 0\,\) với mọi \(m.\)
b) Phương trình đã cho có hai nghiệm dương phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\)  \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta  > 0\\ - \dfrac{b}{a} > 0\\\dfrac{c}{a} > 0\end{array} \right.\)
Áp dụng hệ thức Vi-et ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} =  - \dfrac{b}{a}\\{x_1}{x_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right..\) 
Giả sử \({x_1} > {x_2}.\) Khi đó ta có: \(\sqrt {{x_1} + 2}  - \sqrt {{x_2} + 2}  = 1\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {\sqrt {{x_1} + 2}  - \sqrt {{x_2} + 2} } \right)^2} = 1\\ \Leftrightarrow {x_1} + 2 + {x_2} + 2 - 2\sqrt {\left( {{x_1} + 2} \right)\left( {{x_2} + 2} \right)}  = 1\\ \Leftrightarrow {x_1} + {x_2} + 4 - 2\sqrt {{x_1}{x_2} + 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 4}  = 1.\end{array}\)
Thay hệ thức Vi-et vào biểu thức trên, giải phương trình tìm \(m.\)
Đối chiếu với điều kiện có hai nghiệm dương phân biệt của phương trình rồi kết luận.
Giải chi tiết:a) Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số \(m\) thì phương trình luôn có nghiệm.
Xét phương trình: \({x^2} - \left( {m + 1} \right)x + 2m - 2 = 0\)
Phương trình có: \(\Delta  = {\left( {m + 1} \right)^2} - 4\left( {2m - 2} \right)\) \( = {m^2} + 2m + 1 - 8m + 8\) \( = {m^2} - 6m + 9 = {\left( {m - 3} \right)^2} \ge 0\,\,\,\forall m\)
\( \Rightarrow \) Phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi \(m.\)
b) Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\)  sao cho \(\sqrt {{x_1} + 2}  - \sqrt {{x_2} + 2}  = 1.\)
Phương trình \({x^2} - \left( {m + 1} \right)x + 2m - 2 = 0\) có hai nghiệm dương phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta  > 0\\ - \dfrac{b}{a} > 0\\\dfrac{c}{a} > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {m - 3} \right)^2} > 0\\m + 1 > 0\\2m - 2 > 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m - 3
e 0\\m >  - 1\\m > 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m
e 3\\m > 1\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow \) Với \(m > 1,\,\,m
e 3\) thì phương trình đã cho có hai nghiệm dương phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\) với \({x_1} > {x_2}.\)
Áp dụng hệ thức Vi-et ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = m + 1\\{x_1}{x_2} = 2m - 2\end{array} \right..\)
Với \({x_1} > {x_2},\) theo đề bài ta có: \(\sqrt {{x_1} + 2}  - \sqrt {{x_2} + 2}  = 1\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {\sqrt {{x_1} + 2}  - \sqrt {{x_2} + 2} } \right)^2} = 1\\ \Leftrightarrow {x_1} + 2 + {x_2} + 2 - 2\sqrt {\left( {{x_1} + 2} \right)\left( {{x_2} + 2} \right)}  = 1\\ \Leftrightarrow {x_1} + {x_2} + 4 - 2\sqrt {{x_1}{x_2} + 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 4}  = 1\\ \Leftrightarrow m + 1 + 4 - 2\sqrt {2m - 2 + 2\left( {m + 1} \right) + 4}  = 1\\ \Leftrightarrow m + 5 - 2\sqrt {2m - 2 + 2m + 2 + 4}  = 1\\ \Leftrightarrow m + 5 - 2\sqrt {4m + 4}  = 1\\ \Leftrightarrow m + 4 = 2\sqrt {4\left( {m + 1} \right)} \\ \Leftrightarrow m + 4 = 4\sqrt {m + 1} \\ \Leftrightarrow {\left( {m + 4} \right)^2} = 16\left( {m + 1} \right)\,\,\,\,\left( {tm\,\,\forall m > 1,\,\,m
e 3} \right)\\ \Leftrightarrow {m^2} + 8m + 16 = 16m + 16\\ \Leftrightarrow {m^2} - 8m = 0\\ \Leftrightarrow m\left( {m - 8} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\m - 8 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\,\,\,\,\left( {ktm} \right)\\m = 8\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy \(m = 8\) thỏa mãn điều kiện bài toán.
Chọn C.