Trong không gian Oxyz, biết mặt cầu \(\left( S \right)\) tâm O và tiếp xúc với mặt phẳng \(\left( P \right):x - 2y + 2z + 9 = 0\) tại điểm \(H\left( {a;b;c} \right)\). Giá trị tổng \(a + b + c\) bằng A.\( 2.\) B.\( - 1.\) C.\( 1.\) D.\( - 2.\)
Phương pháp giải: - Mặt cầu \(\left( S \right)\) tâm O và tiếp xúc với mặt phẳng \(\left( P \right):x - 2y + 2z + 9 = 0\) tại điểm \(H\left( {a;b;c} \right)\) nên \(H\) là hình chiếu của \(O\) lên \(\left( P \right)\). - Viết phương trình đường thẳng \(OH\) đi qua \(O\) và vuông góc với \(\left( P \right)\). - Tìm \(H = OH \cap \left( P \right)\). - Xác định \(a,\,\,b,\,\,c\) và tính tổng. Giải chi tiết:Vì mặt cầu \(\left( S \right)\) tâm O và tiếp xúc với mặt phẳng \(\left( P \right):x - 2y + 2z + 9 = 0\) tại điểm \(H\left( {a;b;c} \right)\) nên \(H\) là hình chiếu của \(O\) lên \(\left( P \right)\). \( \Rightarrow OH \bot \left( P \right)\)\( \Rightarrow \overrightarrow {{u_{OH}}} = \overrightarrow {{n_P}} = \left( {1; - 2;2} \right)\). Phương trình đường thẳng \(OH\) là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = - 2t\\z = 2t\end{array} \right.\). Vì \(H \in OH \Rightarrow H\left( {t; - 2t;2t} \right)\). Lại có \(H \in \left( P \right) \Rightarrow t - 2.\left( { - 2t} \right) + 2.2t + 9 = 0\) \( \Leftrightarrow 9t + 9 = 0 \Leftrightarrow t = - 1\). \( \Rightarrow H\left( { - 1;2; - 2} \right) \Rightarrow a = - 1,\,\,b = 2,\,\,c = - 2\). Vậy \(a + b + c = - 1 + 2 + \left( { - 2} \right) = - 1.\) Chọn B.