Một viên đá có hình dạng là khối chóp tứ giác đều với tất cả các cạnh bằng \(a\). Người ta cắt khối đá đó bởi mặt phẳng song song với đáy của khối chóp để chia khối đá thành hai phần có thể tích bằng nhau. Tính diện tích của thiết diện khối đá bị cắt bởi mặt phẳng nói trên. (Giả thiết rằng tổng thể tích của hai khối đá sau vẫn bằng thể tích của khối đá ban đầu).
A.\(\dfrac{{{a^2}}}{{\sqrt[3]{4}}}.\)
B.\(\dfrac{{{a^2}}}{{\sqrt[3]{2}}}.\)
C.\(\dfrac{{2{a^2}}}{{\sqrt 3 }}.\)
D.\(\dfrac{{{a^2}}}{4}.\)

Trong mặt phẳng tọa độ \({\rm{Ox}}y\), cho parabol \(\left( P \right)\) có phương trình \(y = {x^2}\)và đường thẳng \(\left( d \right)\) có phương trình \(y = mx + 3\) (với \(m\) là tham số)
1. Chứng minh đường thẳng \(\left( d \right)\) luôn cắt parabol \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt \(A,B\).
2. Gọi \({x_1},{x_2}\) lần lượt là hoành độ của \(A,B\). Tính tích các giá trị của \(m\) để \(2{x_1} + {x_2} = 1\).
A.\(m =  \dfrac{1}{2}\) hoặc \(m = 2\).
B.\(m =  - \dfrac{1}{2}\) hoặc \(m = 2\).
C.\(m =  - \dfrac{1}{2}\) hoặc \(m =- 2\).
D.\(m =  \dfrac{1}{2}\) hoặc \(m =- 2\).

Xét các số thực \(a\), \(b\) thỏa mãn \(a > b > 1\). Tìm giá trị nhỏ nhất \({P_{\min }}\) của biểu thức \(P = \log _{\frac{a}{b}}^2\left( {{a^2}} \right) + 3{\log _b}\left( {\dfrac{a}{b}} \right)\).
A. \({P_{\min }} = 19\).
B.\({P_{\min }} = 13\).
C.\({P_{\min }} = 14\).
D.\({P_{\min }} = 15\).

Cho đa giác đều 20 cạnh nội tiếp đường tròn (O). Xác định số hình thang có 4 đỉnh là các đỉnh của đa giác đều.
A.720.
B.765.
C.810.
D.315.

Giải phương trình: \(2{x^2} - 3x - 5 = 0\)
A.\(S = \left\{ { 1;-\dfrac{5}{2}} \right\}\).
B.\(S = \left\{ { 1;\dfrac{5}{2}} \right\}\).
C.\(S = \left\{ { - 1;-\dfrac{5}{2}} \right\}\).
D.\(S = \left\{ { - 1;\dfrac{5}{2}} \right\}\).

Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}3x - y = 5\\5x + 2y = 1\end{array} \right.\)
A.\(\left( {x;y} \right) = \left( {1; - 2} \right)\).
B.\(\left( {x;y} \right) = \left( {1; 2} \right)\).
C.\(\left( {x;y} \right) = \left( {-1; - 2} \right)\).
D.\(\left( {x;y} \right) = \left( {-1; 2} \right)\).

Cho các số thực dương \(a,b,c\) thỏa mãn \(\dfrac{1}{{a + 1}} + \dfrac{1}{{b + 1}} + \dfrac{1}{{c + 1}} \le 1\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \dfrac{{{a^3}}}{{{a^2} + ab + {b^2}}} + \dfrac{{{b^3}}}{{{b^2} + bc + {c^2}}} + \dfrac{{{c^3}}}{{{c^2} + ca + {a^2}}}\).
A.\(2\)
B.\(-2\)
C.\(1\)
D.\(-1\)

Hình lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(A;{\rm{ }}AB = 1;{\rm{ }}AC = 2.\) Hình chiếu vuông góc của \(A'\) trên \(\left( {ABC} \right)\) nằm trên đường thẳng \(BC\). Tính khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {A'BC} \right)\).
A.\(\dfrac{2}{3}.\)
B.\(\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}.\)
C.\(\dfrac{1}{3}.\)
D.\(\dfrac{{2\sqrt 5 }}{5}.\)

Cho hàm số \(y =  - {x^3} + {x^2} + \left( {4m + 9} \right)x - 5\) \(\left( 1 \right)\) với \(m\)là tham số. Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của \(m\) lớn hơn \( - 10\) để hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\)?
A.6.
B.7.
C.4
D.8

Cho \(a > 0,b > 0\) thỏa mãn \({\log _{4a + 5b + 1}}\left( {16{a^2} + {b^2} + 1} \right) + {\log _{8{\rm{a}}b + 1}}\left( {4a + 5b + 1} \right) = 2\). Giá trị của \(a + 2b\) bằng:
A.\(6\)
B.\(9\).
C.\(\dfrac{{27}}{4}\).
D.\(\dfrac{{20}}{3}\)