Đáp án đúng:
Phương pháp giải:
Sử dụng phương pháp quy nạp toán học.
Giải chi tiết:Đặt \({A_n} = {n^3} + 11n\).
Bước 1: Với \(n = 1\), ta có \({A_1} = {1^3} + 11.1 = 12\,\, \vdots \,\,6\) (Đúng)
Như vậy mệnh đề đúng khi \(n = 1\).
Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với \(n = k \ge 1\), ta có \({A_k} = \left( {{k^3} + 11k} \right)\,\, \vdots \,\,6\) (Giả thiết quy nạp).
Ta chứng minh \({A_{k + 1}}\,\, \vdots \,\,6\,\,\,\left( 2 \right)\).
Thật vậy, ta có
\(\begin{array}{l}{A_{k + 1}} = {\left( {k + 1} \right)^3} + 11\left( {k + 1} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {k^3} + 3{k^2} + 3k + 1 + 11k + 11\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {k^3} + 3{k^2} + 14k + 12\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {k^3} + 11k + 3{k^2} + 3k + 12\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {A_k} + 3k\left( {k + 1} \right) + 12\end{array}\)
Theo giả thiết quy nạp
\({A_k}\,\, \vdots \,\,6\)
\(k\left( {k + 1} \right)\,\, \vdots \,\,2\) (tích 2 số tự nhiên liên tiếp) \( \Rightarrow 3k\left( {k + 1} \right)\,\, \vdots \,\,6\)
\(12\,\, \vdots \,\,6\).
\( \Rightarrow {A_{k + 1}}\,\, \vdots \,\,6\).
Kết luận \({n^3} + 11n\) chia hết cho \(6\,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).
