Đáp án đúng: D
Giải chi tiết:
Kẻ đường kính \(AM\) của \(\left( O \right)\).
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}BM \bot AB\\BM \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BM \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BM \bot AD\).
Lại có \(AD \bot DM\) (góc nội tiếp chắn nửa mặt cầu) \( \Rightarrow AD \bot \left( {SBM} \right) \Rightarrow AD \bot SB\).
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có \(\dfrac{{SD}}{{SB}} = \dfrac{{S{A^2}}}{{S{B^2}}} = \dfrac{{S{A^2}}}{{S{A^2} + A{B^2}}} = \dfrac{{{4^2}}}{{{4^2} + {2^2}}} = \dfrac{4}{5}\).
Ta có \(AD \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow AD \bot DE \Rightarrow \Delta ADE\) vuông tại \(D\).
Chứng minh tương tự ta có \(AE \bot \left( {SCM} \right)\) \( \Rightarrow AE \bot SC\).
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có \(\dfrac{{SE}}{{SC}} = \dfrac{{S{A^2}}}{{S{C^2}}} = \dfrac{{S{A^2}}}{{S{A^2} + A{C^2}}} = \dfrac{{{4^2}}}{{{4^2} + {1^2}}} = \dfrac{{16}}{{17}}\).
Khi đó ta có \(\dfrac{{{V_{S.ADE}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \dfrac{{SD}}{{SB}}.\dfrac{{SE}}{{SC}} = \dfrac{4}{5}.\dfrac{{16}}{{17}} = \dfrac{{64}}{{85}} \Rightarrow {V_{S.ADE}} = \dfrac{{64}}{{85}}{V_{S.ABC}}\).
Do đó \({V_{S.ADE}}\) đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi \({V_{S.ABC}}\) đạt giá trị lớn nhất.
Ta có \({V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}SA.{S_{ABC}} = \dfrac{1}{6}SA.AB.AC.\sin \angle BAC\) \( = \dfrac{1}{6}.4.2.1.\sin \angle BAC = \dfrac{4}{3}\sin \angle BAC\) đạt giá trị lớn nhất khi \(\sin \angle BAC = 1 \Leftrightarrow \angle BAC = {90^0}\).
Khi đó \(\max {V_{S.ABC}} = \dfrac{4}{3} \Rightarrow \max {V_{S.ADE}} = \dfrac{{256}}{{255}}\).
Chọn D