Đáp án đúng: D

Phương pháp giải:

- Sử dụng phương pháp tích phân từng phần, đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = x + \ln x\\dv = \dfrac{{dx}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\end{array} \right.\).- Đồng nhất hệ số tìm \(a,\,\,b,\,\,c\) và tính \(S\).Giải chi tiết:Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = x + \ln x\\dv = \dfrac{{dx}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \left( {1 + \dfrac{1}{x}} \right)dx = \dfrac{{x + 1}}{x}dx\\v =  - \dfrac{1}{{x + 1}}\end{array} \right.\).Khi đó ta có \(\begin{array}{l}I = \left. { - \left( {x + \ln x} \right)\dfrac{1}{{x + 1}}} \right|_1^2 + \int\limits_1^2 {\dfrac{1}{{x + 1}}.\dfrac{{x + 1}}{x}dx} \\\,\,\,\, =  - \left( {2 + \ln 2} \right).\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{2} + \int\limits_1^2 {\dfrac{{dx}}{x}} \\\,\,\,\, =  - \left( {2 + \ln 2} \right).\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{2} + \left. {\ln \left| x \right|} \right|_1^2\\\,\,\,\, =  - \dfrac{2}{3} - \dfrac{1}{3}\ln 2 + \dfrac{1}{2} + \ln 2\\\,\,\,\, = \dfrac{2}{3}\ln 2 - \dfrac{1}{6}\\ \Rightarrow a = 2,\,\,b = 3,\,\,c = 6\end{array}\)Vậy \(S = \dfrac{{a + b}}{c} = \dfrac{{2 + 3}}{6} = \dfrac{5}{6}\).Chọn D