Đáp án đúng: D

Phương pháp giải:

- Xác định góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến.
- Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông tính \(SA\).
- Tính thể tích \({V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}SA.{S_{ABCD}}\).Giải chi tiết:
Trong \(\left( {ABCD} \right)\) kẻ \(AH \bot BD\,\,\left( {H \in BD} \right)\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BD \bot AH\\BD \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BD \bot \left( {SAH} \right) \Rightarrow BD \bot SH\).
\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SBD} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = BD\\SH \subset \left( {SBD} \right),\,\,SH \bot BD\\AH \subset \left( {ABCD} \right),\,\,AH \bot BD\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \angle \left( {\left( {SBD} \right);\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle \left( {SH;AH} \right) = \angle SHA = {30^0}\).
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(ABD\) có: \(AH = \dfrac{{AB.AD}}{{\sqrt {A{B^2} + A{D^2}} }} = \dfrac{{a.a\sqrt 3 }}{{\sqrt {{a^2} + 3{a^2}} }} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
\( \Rightarrow SA = AH.\tan {30^0} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}.\dfrac{1}{{\sqrt 3 }} = \dfrac{a}{2}\).
Vậy \({V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}SA.{S_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}SA.AB.AD = \dfrac{1}{3}.\dfrac{a}{2}.a.a\sqrt 3  = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}\).
Chọn D