Đáp án đúng: A
Giải chi tiết:Tham khảo FB Lam Vu
Kiểm tra thấy \({d_1},\,\,{d_2},\,\,{d_3}\) đôi một vuông góc với nhau và đồng quy tại điểm \(S\left( {1;1;1} \right)\).
Vì \(\Delta ABC\) đều \( \Rightarrow AB = BC = CA \Rightarrow S{A^2} + S{B^2} = S{B^2} + S{C^2} = S{C^2} + S{A^2}\).
\( \Rightarrow SA = SB = SC\).
\( \Rightarrow \) \(S.ABC\) là chóp tam giác đều.
Gọi \(N,\,\,P,\,\,Q\) lần lượt thuộc \({d_1},\,\,{d_2},\,\,{d_3}\) sao cho \(SN = SP = SQ = 3\).
\( \Rightarrow \left( {NPQ} \right)//\left( {ABC} \right)\).
Ta tìm được các điểm \(N,\,\,P,\,\,Q\) thỏa mãn là:
\(\left\{ \begin{array}{l}{N_1}\left( {3;3;2} \right)\\{N_2}\left( { - 1; - 1;0} \right)\end{array} \right.,\,\,\left\{ \begin{array}{l}{P_1}\left( {2; - 1;3} \right)\\{P_2}\left( {0;3; - 1} \right)\end{array} \right.,\,\,\left\{ \begin{array}{l}{Q_1}\left( {3;0; - 1} \right)\\{Q_2}\left( { - 1;2;3} \right)\end{array} \right.\).
Ta có \(\overrightarrow {MS} = \left( {3; - 2;5} \right)\), mặt phẳng đi qua \(S\) và vuông góc với \(MS\) có phương trình là \(\left( \alpha \right):\,\,3x - 2y + 5z - 6 = 0\)
+ Nếu \(M\) nằm ở miền trong \(\Delta ABC\) \( \Rightarrow N,\,\,P,\,\,Q,\,\,M\) nằm cùng phía so với \(\left( \alpha \right)\).
\( \Rightarrow {N_2},\,\,{P_2},\,\,{Q_1}\) thỏa mãn.
\( \Rightarrow \overrightarrow n = \left( {1;1;5} \right)\) là 1 VTPT của \(mp\left( {ABC} \right)\).
\( \Rightarrow \) Phương trình mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là \(x + y + 5z + 19 = 0\,\,\left( {ktm} \right)\).
+ Nếu \(M\) nằm ở miền ngoài \(\Delta ABC\) thì trong 3 điểm \(N,\,\,P,\,\,Q\) có 1 điểm nằm cùng phía và 2 điểm nằm khác phía \(M\) so với \(\left( \alpha \right)\).
TH1: \({N_1},\,\,{P_2},\,\,{Q_1}\) thỏa mãn \( \Rightarrow \overrightarrow n = \left( {1;1; - 1} \right)\) là 1 VTPT của \(mp\left( {ABC} \right)\) \( \Rightarrow \) Phương trình mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là \(x + y - z + 3 = 0\) (ktm).
TH2: \({N_2},\,\,{P_1},\,\,{Q_1}\) thỏa mãn \( \Rightarrow \overrightarrow n = \left( {1; - 5; - 1} \right)\) là 1 VTPT của \(mp\left( {ABC} \right)\) \( \Rightarrow \) Phương trình mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là \(x - 5y - z + 13 = 0\) (ktm).
TH3: \({N_2},\,\,{P_2},\,\,{Q_1}\) thỏa mãn \( \Rightarrow \overrightarrow n = \left( {5; - 1;1} \right)\) là 1 VTPT của \(mp\left( {ABC} \right)\) \( \Rightarrow \) Phương trình mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là \(5x - y + z + 17 = 0\) (tm).
Chọn A.
