Trước hết ta cần tìm điều kiện của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1}\) và \({x_2}\). Đề bài cho phương trình có hai nghiệm nên ta có thể áp dụng hệ thức Vi-et và biến đổi biểu thức đã cho về biểu thức có chứa \({x_1} + {x_2}\) và \({x_1}{x_2}\) rồi từ đó ta tìm được giá trị của \(m\) để \(A\) đạt giá trị nhỏ nhấtGiải chi tiết:Phương trình có hai nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \Delta > 0\) \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {4m - 1} \right)^2} - 8\left( {m - 4} \right) > 0\\ \Leftrightarrow 16{m^2} - 8m + 1 - 8m + 32 > 0\\ \Leftrightarrow 16{m^2} - 16m + 33 > 0\\ \Leftrightarrow 16{m^2} - 2.4m.2 + 4 + 29 > 0\\ \Leftrightarrow {\left( {4m - 2} \right)^2} + 29 > 0\,\,\,\,\forall m\end{array}\) \( \Rightarrow \) Phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1}\) và \({x_2}\) với mọi m. Theo hệ thức Vi-et ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - \left( {4m - 1} \right)\\{x_1}{x_2} = 2\left( {m - 4} \right)\end{array} \right.\) (1) Ta có: \({\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} = {x_1}^2 + {x_2}^2 - 2{x_1}{x_2} = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2}\) (2). Thay (1) vào (2) được: \(\begin{array}{l}A = {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} = {\left( { - 4m + 1} \right)^2} - 8\left( {m - 4} \right) = 16{m^2} - 8m + 1 - 8m + 32\\\,\,\,\,\,\, = 16{m^2} - 16m + 33 = {\left( {4m - 2} \right)^2} + 29 \ge 29,\,\,\,\forall m\\ \Rightarrow {A_{\min }} = 29 \Leftrightarrow m = \frac{1}{2}.\end{array}\) Vậy với \(m = \frac{1}{2}\)thì \({A_{\min }} = 29.\) Chọn C