Đáp án đúng:

Phương pháp giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz và một số hệ quảGiải chi tiết:Trước tiên ta có hai bổ đề quen thuộcBổ đề 1: Cho \(2\)số \(a,b > 0\). Khi đó \(\sqrt {2\left( {a + b} \right)}  \ge \sqrt a  + \sqrt b \)Chứng minh: Từ bất đẳng thức đúng \({\left( {\sqrt a  - \sqrt b } \right)^2} \ge 0\), suy ra :\(a + b \ge 2\sqrt {ab}  \Leftrightarrow 2\left( {a + b} \right) \ge {\left( {\sqrt a  + \sqrt b } \right)^2} \Leftrightarrow \sqrt {2\left( {a + b} \right)}  \ge \sqrt a  + \sqrt b \)Vậy bất đẳng thức được chứng minh . Đẳng thức xảy ra khi \(a = b\)Bổ đề 2: Cho 3 số thực dương \(x,y,z\). Khi đó \(x + y + z \ge 3\sqrt 3 \sqrt {\frac{1}{{\frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{y^2}}} + \frac{1}{{{z^2}}}}}} \). Chứng minh: Thật vậy, ta có:\(\frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{y^2}}} + \frac{1}{{{z^2}}} \ge \frac{1}{3}{\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}} \right)^2} \ge \frac{1}{3}{\left[ {\frac{{{{\left( {1 + 1 + 1} \right)}^2}}}{{x + y + z}}} \right]^2} = \frac{{27}}{{{{\left( {x + y + z} \right)}^2}}}\)Suy ra \(x + y + z \ge 3\sqrt 3 \sqrt {\frac{1}{{\frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{{=y^2}}} + \frac{1}{{{z^2}}}}}} \)Bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi \(x = y = z\)Trở lại Giải Câu toán. Áp dụng Bổ đề 1, ta có:\(\sqrt {\frac{{2\left( {x + y} \right)}}{{xy}}}  = \sqrt {\frac{{2{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{{xy\left( {x + y} \right)}}}  = \sqrt {2\left( {\frac{{{x^2} + {y^2}}}{{xy\left( {x + y} \right)}} + \frac{{2xy}}{{xy\left( {x + y} \right)}}} \right)}  \ge \sqrt {\frac{{{x^2} + {y^2}}}{{xy\left( {x + y} \right)}}}  + \sqrt {\frac{2}{{x + y}}} \)\( \Rightarrow VP\left( * \right) \ge \sqrt {\frac{{{x^2} + {y^2}}}{{xy\left( {x + y} \right)}}}  + \sqrt {\frac{{{y^2} + {z^2}}}{{yz\left( {y + z} \right)}}}  + \sqrt {\frac{{{z^2} + {x^2}}}{{zx\left( {z + x} \right)}}}  + \sqrt {\frac{2}{{x + y}}}  + \sqrt {\frac{2}{{y + z}}}  + \sqrt {\frac{2}{{z + x}}} \)Mặt khác, áp dụng Bổ đề 2, ta có:\(\begin{array}{l}\sqrt {\frac{2}{{x + y}}}  + \sqrt {\frac{2}{{y + z}}}  + \sqrt {\frac{2}{{z + x}}}  \ge 3\sqrt 3 \sqrt {\frac{1}{{{{\left( {\sqrt {\frac{{x + y}}{2}} } \right)}^2} + {{\left( {\sqrt {\frac{{y + z}}{2}} } \right)}^2} + {{\left( {\sqrt {\frac{{z + x}}{2}} } \right)}^2}}}} \\ = 3\sqrt {\frac{3}{{x + y + z}}}  \ge 3\sqrt {\frac{3}{3}}  = 3\end{array}\)Từ đó ta có điều phải chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi \(x = y = z = 1\).