Đáp án đúng:

Phương pháp giải:

Sử dụng bất đẳng thức AM – GM ta đưa bài toán về bổ đề quen thuộc: \(9\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right) \ge 8\left( {ab + bc + ca} \right)\left( {a + b + c} \right)\) với \(a,b,c \ge 0\)Giải chi tiết:\(\frac{{8\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}}{{ab + bc + ca}} + \frac{{27\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)}}{{{{\left( {a + b + c} \right)}^3}}} \ge 16\).Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có: \(\frac{{8\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}}{{ab + bc + ca}} + \frac{{27\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)}}{{{{\left( {a + b + c} \right)}^3}}} \ge 2\sqrt {\frac{{8\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}}{{ab + bc + ca}}.\frac{{27\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)}}{{{{\left( {a + b + c} \right)}^3}}}} \)\( \ge 2\sqrt {\frac{{8\frac{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}{3}}}{{ab + bc + ca}}.\frac{{27\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)}}{{{{\left( {a + b + c} \right)}^3}}}}  = 12\sqrt {\frac{{2\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)}}{{\left( {ab + bc + ca} \right)\left( {a + b + c} \right)}}} \)Ta sẽ chứng minh \(12\sqrt {\frac{{2\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)}}{{\left( {ab + bc + ca} \right)\left( {a + b + c} \right)}}}  \ge 16 \Leftrightarrow 9\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right) \ge 8\left( {ab + bc + ca} \right)\left( {a + b + c} \right)\)\( \Leftrightarrow 9\left[ {ab\left( {a + b} \right) + bc\left( {b + c} \right) + ca\left( {c + a} \right) + 2abc} \right] \ge 8\left[ {ab\left( {a + b} \right) + bc\left( {b + c} \right) + ca\left( {c + a} \right) + 3abc} \right]\)\( \Leftrightarrow ab\left( {a + b} \right) + bc\left( {b + c} \right) + ca\left( {c + a} \right) \ge 6abc\)\( \Leftrightarrow \left( {\frac{{a + b}}{c}} \right) + \left( {\frac{{b + c}}{a}} \right) + \left( {\frac{{c + a}}{b}} \right) \ge 6 \Leftrightarrow \left( {\frac{a}{b} + \frac{b}{a} - 2} \right) + \left( {\frac{b}{c} + \frac{c}{b} - 2} \right) + \left( {\frac{c}{a} + \frac{a}{c} - 2} \right) \ge 0\)\( \Leftrightarrow \frac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{{ab}} + \frac{{{{\left( {b - c} \right)}^2}}}{{bc}} + \frac{{{{\left( {c - a} \right)}^2}}}{{ca}} \ge 0\) (luôn đúng). Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(a = b = c.\)Do đó bất đẳng thức được chứng minh.