Trên ∆, lấy điểm D sao cho BD = BO và D, A nằm khác phía nhau so với B.
Gọi E là giao điểm của các đường thẳng KA và OC; gọi F là giao điểm của các đường thẳng KB và OD.
Vì K là tâm đường tròn bàng tiếp góc O của \(\Delta\)OAB nên KE là phân giác của góc OAC. Mà OAC là tam giác cân tại A (do AO = AC, theo gt) nên suy ra KE cũng là đường trung trực của OC. Do đó E là trung điểm của OC và KC = KO. Xét tương tự đối với KF, ta cũng có F là trung điểm của OD và KD = KO. Suy ra \(\Delta\)CKD cân tại K. Do đó, hạ KH \(\perp\) \(\Delta\), ta có H là trung điểm của CD.
Như vậy:
+ A là giao của ∆ và đường trung trực 1 d của đoạn thẳng OC; (1)
+ B là giao của ∆ và đường trung trực 2 d của đoạn thẳng OD, với D là điểm đối xứng của C qua H và H là hình chiếu vuông góc của K trên ∆. (2)
Vì \(C\in \Delta\) và có hoành độ \(x_0=\frac{24}{5}\) (gt) nên gọi y0 là tung độ của C, ta có:
\(4.\frac{24}{5}+3y_0-12=0 \ \ suy \ ra\ y_0=-\frac{12}{5}\)
Từ đó, trung điểm E của OC có tọa độ là \(\left ( \frac{12}{5};-\frac{6}{5} \right )\) và đường thẳng OC có phương trình: x + 2y = 0
Suy ra phương trình của d1 là: 2x - y - 6 = 0
Do đó, theo (1), tọa độ của A là nghiệm của hệ phương trình:
\(\left\{\begin{matrix} 4x+3y-12=0\\ 2x-y-6=0 \end{matrix}\right.\)
Giải hệ trên, ta được A = (3; 0).
Gọi d là đường thẳng đi qua K(6; 6) và vuông góc với \(\Delta\), ta có phương trình của d là: 3x - 4y + 6 = 0. Từ đây, do H là giao điểm của \(\Delta\) và d nên tọa độ của H là nghiệm của hệ phương trình:
\(\left\{\begin{matrix} 4x+3y-12=0\\ 3x-4y+6=0 \end{matrix}\right.\)
Giải hệ trên, ta được \(H = \left ( \frac{6}{5};\frac{12}{5} \right )\) suy ra \(D = \left ( -\frac{12}{5};\frac{36}{5} \right )\)
Do đó, trung điểm F của OD có tọa độ là \(\left ( -\frac{6}{5};\frac{18}{5} \right )\) và đường thẳng OD có phương trình: 3x + y = 0
Suy ra phương trình của d2 là x - 3y + 12 = 0
Do đó, theo (2), tọa độ của B là nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{\begin{matrix} 4x+3y-12=0\\ x-3y+12=0 \end{matrix}\right.\)
Giải hệ trên, ta được B = (0; 4).
