Tọa độ điểm N' đối xứng với điểm N qua I là \(N'\left ( 3;\frac{5}{3} \right )\)
Đường thẳng AB đi qua M, N' có phương trình: x - 3y + 2 = 0
Suy ra: \(IH=d(I,AB)=\frac{\left | 3-9+2 \right |}{\sqrt{10}}=\frac{4}{\sqrt{10}}\)
Do AC = 2BD nên IA = 2IB. Đặt IB = x > 0, ta có phương trình
\(\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{4x^{2}}=\frac{5}{8}\Leftrightarrow x^{2}=2\Leftrightarrow x=\sqrt{2}\)
Đặt B(x, y). Do \(IB=\sqrt{2}\) và \(B\in AB\) nên tọa độ B là nghiệm của hệ:
\(\left\{\begin{matrix} (x-3)^{2}+(y-3)^{2}=2\\x-3y+2=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 5y^{2}-18y+16=0\\x=3y-2 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left \{\begin{matrix} x=\frac{14}{5}\\y=\frac{8}{5} \end{matrix}\right.\vee \left\{\begin{matrix} x=4>3\\y=2 \end{matrix}\right.\)
Do B có hoành độ nhỏ hơn 3 nên ta chọn \(B\left ( \frac{14}{5};\frac{8}{5} \right )\)
Vậy, phương trình đường chéo BD là: 7x - y - 18 = 0.
