Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(2;6), B(1;1),C(6;3) 1. Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. 2. Tìm trên các cạnh AB, BC, CA các điểm K, H, I sao cho chu vi tam giác KHI nhỏ nhất.
a, Gọi phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là x2+y2+2ax+2by+c=0,(a2+b2−c>0) Ta có: ⎩⎨⎧4+36+4a+12b+c=01+1+2a+2b+c=036+9+12a+6b+c=0 ⇒a=−46139;b=−46147;c=23240 (thỏa mãn)
Vậy phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là: x2+y2−23139x−23147y+23240=0 b,
A (2; 6), B (1; 1), C (6; 3) Ta có: AB(−1;−5),AC(4;−3),BC(5;2)⇒AB=26;AC=5;BC=29 BC > AB > AC A>C>B mà cos A > 0 ⇒ΔABC nhọn Gọi E, F lần lượt đối xứng với H qua AB, AC. Ta có: AE = AH = AF, suy ra tam giác AEF cân tại A và EAF=2A Chu vi ΔHIK = KE + KJ + IF ≥ EF Gọi M là trung điểm EF, trong tam giác vuông AME, ta có: ME=AE.sin=AH.sin Suy ra: Chi vi tam giác HKI là KE+KJ+IF≥EF.EF=2sinA.AH≥2sinA.d(A;BC)=R2SΔABC Dấu “=” xảy ra H là chân đường cao kẻ từ A xuống BC và K, I là giao điểm của EF với AB, AC Ta chứng minh: IHF+CHF=A Có: IHF=AHF−AHI=AHF−AFI=AHF−21(1800−2A) =C−900+A FHC=900+C, suy ra: IHF+CHF=A, suy ra tứ giác ABHI nội tiếp, suy ra AIB=AHB=900, suy ra I là chân đường cao tam giác ABC kẻ từ B. Tương tự có K là chân đường cao của C xuống AB. Phương trình các đường thẳng: (AB):5x−y−4=0;(AC):3x+4y−30=0;(BC):2x−5y+3=0 (AH):5x+2y−22=0;(BI):4x−3y−1=0;(CK):x+5y−21=0 Suy ra H(29104;2959)K(2641;26101)I(2594;25117)