Tính đạo hàm \(f'\left( x \right)\) và hai điểm cực trị là nghiệm của phương trình \(f'\left( x \right) = 0\) Viết công thức đạo hàm của \(f\left( x \right) = \dfrac{{u\left( x \right)}}{{v\left( x \right)}}\) từ đó rút ra nhận xét về \({y_{CT}}\) và \({y_{CD}}\) và viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị.Giải chi tiết:Ta có: \(f'\left( x \right) = \dfrac{{ - 13{x^2} + 18x + 13}}{{{{({x^2} + 1)}^2}}}\)Giả sử đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là \(M({x_1};{y_1}),\,N({x_2};{y_2}).\) Khi đó \({x_1},{x_2}\) là nghiệm của phương trình \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow - 13{x^2} + 18x + 13 = 0\)Ta có: \(f\left( x \right) = \dfrac{{u\left( x \right)}}{{v\left( x \right)}} \Rightarrow f'\left( x \right) = \dfrac{{u'\left( x \right)v\left( x \right) - u\left( x \right)v'\left( x \right)}}{{{v^2}\left( x \right)}}\)\( \Rightarrow f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow u'\left( x \right)v\left( x \right) - u\left( x \right)v'\left( x \right) = 0 \Rightarrow \dfrac{{u\left( x \right)}}{{v\left( x \right)}} = \dfrac{{u'\left( x \right)}}{{v'\left( x \right)}}\)Ta có: \(\)\({y_{CT}} = \dfrac{{u\left( {{x_{CT}}} \right)}}{{v\left( {{x_{CT}}} \right)}} = \dfrac{{u'\left( {{x_{CT}}} \right)}}{{v'\left( {{x_{CT}}} \right)}};\,{y_{CD}} = \dfrac{{u\left( {{x_{CD}}} \right)}}{{v\left( {{x_{CD}}} \right)}} = \dfrac{{u'\left( {{x_{C\,{\rm{D}}}}} \right)}}{{v'\left( {{x_{CD}}} \right)}}\,\)Do đó, hai điểm cực trị của đồ thị hàm số thuộc đường cong \(y = \dfrac{{(13x - 9)'}}{{({x^2} + 1)'}} = \dfrac{{13}}{{2x}}\)Khi đó hai điểm \(A,B\) thuộc đường thẳng:\(y = \dfrac{{13 - ( - 13{x^2} + 18x + 13)}}{{2x}} = \dfrac{{13}}{2}x - 9\)\( \Rightarrow 13x - 2y - 18 = 0\)Vậy \(d(O,AB) = \dfrac{{\left| { - 18} \right|}}{{\sqrt {{{13}^2} + {{( - 2)}^2}} }} = \dfrac{{18}}{{\sqrt {173} }}\).Chọn C
