Đáp án:
`1)` Áp dụng bất đẳng thức cauchy với hai số dương ta có:
`1/a+1/b>=2/\sqrt{ab}`
`1/b+1/c>=2/\sqrt{bc}`
`1/c+1/a>=2/\sqrt{ca}`
Cộng từng vế các bất đẳng thức trên ta có:
`2(1/a+1/b+1/c)>=2(1/\sqrt{ab}+1/\sqrt{bc}+1/\sqrt{ca})`
`<=>1/a+1/b+1/c>=1/\sqrt{ab}+1/\sqrt{bc}+1/\sqrt{ca}`
Dấu "=" xảy ra khi `a=b=c`.
`2)A=2+\sqrt{x+2}`
Điều kiện:`x+2>=0<=>x>=-2`
Ta có:`\sqrt{x+2}>=0`
`=>\sqrt{x+2}+2>=2`
Hay `A>=2`
Dấu "=" xảy ra khi `x+2=0<=>x=-2`.
Vậy `min_A=2<=>x=-2`.
`3)\sqrt{(a+c)(b+d)}>=\sqrt{ab}+\sqrt{cd}(a,b,c,d>0)`
Bình phương hai vế ta có:
`(a+c)(b+d)>=ab+cd+2\sqrt{abcd}`
`<=>ab+ad+bc+cd>=ab+cd+2\sqrt{abcd}`
`<=>ad+bc-2\sqrt{abcd}>=0`
`<=>(\sqrt{ad}-\sqrt{bc})^2>=0AAa,b,c,d>0`
`=>ĐPCM`
Dấu "=" xảy ra khi `ad=bc<=>a/b=c/d`.
