Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Với mọi $k = 1;2;...n - 1$ ta có:
$u_{k + 1} = \frac{2u_{k}}{\sqrt[]{5u_{k} + 1} + 1} = \frac{2u_{k}(\sqrt[]{5u_{k} + 1} - 1)}{(5u_{k} + 1) - 1} = \frac{2}{5}(\sqrt[]{5u_{k} + 1} - 1) (1)$
$ ⇔ 5u_{k + 1} + 2 = 2\sqrt[]{5u_{k} + 1} $
$ ⇔ 25u²_{k + 1} + 20u_{k + 1} + 4 = 20u_{k} + 4 $
$ ⇔ 25u²_{k + 1} + 20u_{k + 1} = 20u_{k} $ nên:
$ 25u²_{1} = 25$
$ 25u²_{2} + 20u_{2} = 20u_{1} $
$ 25u²_{3} + 20u_{3} = 20u_{2} $
$ 25u²_{4} + 20u_{4} = 20u_{3} $
$...............$
$ 25u²_{n} + 20u_{n} = 20u_{n - 1} $
Cộng tất cả lại :
$25(u²_{1} + u²_{2} + u²_{3} +...+ u²_{n}) + 20u_{n} = 25 + 20u_{1} = 45 (2)$
Từ công thức truy hồi$ (1)$ và $ u_{1} = 1 > 0 ⇒ u_{n} > 0$ với mọi $n$
$ (2) ⇔ S_{n} = \frac{9}{5} - \frac{4}{5}u_{n} < \frac{9}{5}$
Mặt khác$: 25u²_{n} + 20u_{n} = 20u_{n - 1}$
$⇒ 0 < u_{n} = u_{n - 1} - \frac{4}{5}u²_{n} < u_{n - 1} < u_{n - 2} <...< u_{2} < u_{1} = 1$
$⇒ Limu_{n} = 0 ⇒ LimS_{n} = \frac{9}{5}$
