- Lập BBT tìm khoảng giá trị của \(f\left( x \right)\). - Tìm khoảng giá trị của \(u = f\left( {f\left( x \right)} \right) = {f^2}\left( x \right) - 2f\left( x \right) - 1\) với khoảng giá trị của \(f\left( x \right)\) tìm được ở trên. - Biểu diễn hàm số \(g\left( x \right)\) theo \(u\) và tìm GTLN, GTNN của hàm số theo \(u\). - Xét các TH và tìm \(u\).Giải chi tiết:Xét hàm số \(f\left( x \right)\), ta có bảng biến thiên:
\( \Rightarrow \) Với \(x \in \left[ { - 1;3} \right]\) thì \(f\left( x \right) \in \left[ { - 2;2} \right]\). Đặt \(u = f\left( {f\left( x \right)} \right) = {f^2}\left( x \right) - 2f\left( x \right) - 1\), với \(f\left( x \right) \in \left[ { - 2;2} \right]\), từ bảng biến thiên ta thấy \(u \in \left[ { - 2;7} \right]\). Suy ra \(g\left( u \right) = \left| {u + m + 1} \right|\), với \(u \in \left[ { - 2;7} \right]\). Vì hàm số \(h\left( u \right) = u + m + 1\) đồng biến trên \(\left[ { - 2;7} \right]\), có \(h\left( { - 2} \right) = m - 1;\,\,h\left( 7 \right) = m + 8\). Do đó: \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 2;7} \right]} g\left( u \right) = \max \left\{ {\left| {m - 1} \right|;\left| {m + 8} \right|} \right\}\) TH1: \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 2;7} \right]} g\left( u \right) = \left| {m - 1} \right|\). Suy ra \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left| {m - 1} \right| = 8}\\{\left| {m - 1} \right| \ge \left| {m + 8} \right|}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m = 9}\\{m = - 7}\end{array}} \right.}\\{\left| {m - 1} \right| \ge \left| {m + 8} \right|}\end{array}} \right. \Leftrightarrow m = - 7\) TH1: \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 2;7} \right]} g\left( u \right) = \left| {m + 8} \right|\). Suy ra \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left| {m + 8} \right| = 8}\\{\left| {m - 1} \right| \le \left| {m + 8} \right|}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m = 0}\\{m = - 16}\end{array}} \right.}\\{\left| {m - 1} \right| \le \left| {m + 8} \right|}\end{array}} \right. \Leftrightarrow m = 0\) Vậy có 2 giá trị nguyên của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn D.
