- Đổi biến \(t = 2\sin x + 1\), đổi cận. - Sử dụng tính chất tích phân: \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = \int\limits_a^c {f\left( x \right)dx} + \int\limits_c^b {f\left( x \right)dx} \). - Trên mỗi khoảng lấy hàm \(f\left( x \right)\) tương ứng. - Sử dụng bảng nguyên hàm cơ bản.Giải chi tiết:Xét \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( {2\sin x + 1} \right)\cos xdx} \). Đặt \(t = 2\sin x + 1\) ta có \(dt = 2\cos xdx\). Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 1\\x = \dfrac{\pi }{2} \Rightarrow t = 3\end{array} \right.\). Khi đó ta có: \(\begin{array}{l}I = \dfrac{1}{2}\int\limits_1^3 {f\left( t \right)dt} = \dfrac{1}{2}\int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx} \\\,\,\,\, = \dfrac{1}{2}\left( {\int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_2^3 {f\left( x \right)dx} } \right)\\\,\,\,\, = \dfrac{1}{2}\left( {\int\limits_1^2 {\left( {{x^2} - 2x + 3} \right)dx} + \int\limits_2^3 {\left( {{x^2} - 1} \right)dx} } \right)\\\,\,\,\, = \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{7}{3} + \dfrac{{16}}{3}} \right) = \dfrac{{23}}{6}\end{array}\) Chọn B
