Đáp án đúng: C

Phương pháp giải:

- Biến đổi \(\dfrac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right) + 1}} = 3{x^2}\).
- Lấy nguyên hàm hai vế, đưa biến vào vi phân.Giải chi tiết:Ta có: \(f'\left( x \right) = 3{x^2}\left[ {f\left( x \right) + 1} \right]\) \(\forall x \in \left[ {1;2} \right] \Leftrightarrow \dfrac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right) + 1}} = 3{x^2}\)
Xét \(\int {\dfrac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right) + 1}}dx}  = \int {3{x^2}dx}  \Leftrightarrow \int {\dfrac{{d\left[ {f\left( x \right) + 1} \right]}}{{f\left( x \right) + 1}}dx}  = {x^3} + C \Leftrightarrow \ln \left| {f\left( x \right) + 1} \right| = {x^3} + C\)
Ta có \(f\left( 1 \right) = 2 \Rightarrow \ln \left| {f\left( 1 \right) + 1} \right| = {1^3} + C \Leftrightarrow C = \ln 3 - 1\).
Vậy \(\ln \left| {f\left( x \right) + 1} \right| = {x^3} + \ln 3 - 1 \Rightarrow \ln \left| {f\left( 2 \right) + 1} \right| = {2^3} + \ln 3 - 1\)
\(f'\left( x \right)\) dương, liên tục trên đoạn \(\left[ {1;2} \right]\) mà \(f\left( 1 \right) = 2\) nên \(f\left( 2 \right) > 2\) nên
\(\ln \left| {f\left( 2 \right) + 1} \right| = {2^3} + \ln 3 - 1 \Leftrightarrow f\left( 2 \right) + 1 = {e^{7 + \ln 3}} = 3{e^7} \Leftrightarrow f\left( 2 \right) = 3{e^7} - 1\).