Số điểm cực trị của hàm số \(g\left( x \right) = \left| {{f^3}\left( {\left| x \right|} \right) - 3{f^2}\left( {\left| x \right|} \right) - 2021} \right|\) bằng tổng số điểm cực trị của hàm số \({f^3}\left( {\left| x \right|} \right) - 3{f^2}\left( {\left| x \right|} \right) - 2021\) và số nghiệm của phương trình \({f^3}\left( {\left| x \right|} \right) - 3{f^2}\left( {\left| x \right|} \right) - 2021 = 0\) (không tính nghiệm kép).Giải chi tiết:Giả sử \(f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\), ta có \(f'\left( x \right) = 3a{x^2} + 2bx + c\). Dựa vào BBT và các giả thiết ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( 0 \right) = 2 \Rightarrow d = 2\\f'\left( 1 \right) = 0 \Rightarrow 3a + 2b + c = 0\\ - \dfrac{{2b}}{{2.3a}} = 0\\f'\left( 0 \right) = - 3 \Rightarrow c = - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 0\\d = 2\\c = - 3\\a = 1\end{array} \right.\) \( \Rightarrow f\left( x \right) = {x^3} - 3x + 2\). Xét hàm số \(h\left( x \right) = {f^3}\left( x \right) - 3{f^2}\left( x \right) - 2021\) ta có \(\begin{array}{l}h'\left( x \right) = 3{f^2}\left( x \right)f'\left( x \right) - 6f\left( x \right)f'\left( x \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 3f\left( x \right).f'\left( x \right)\left[ {f\left( x \right) - 2} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f\left( x \right) = 0\\f'\left( x \right) = 0\\f\left( x \right) = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^3} - 3x + 2 = 0\\3{x^2} - 3 = 0\\{x^3} - 3x + 2 = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 2\\x = 1\,\,\left( {nghiem\,\,boi\,\,3} \right)\\x = - 1\\x = 0\\x = \pm \sqrt 3 \end{array} \right.\end{array}\) \( \Rightarrow \) Hàm số \(h\left( x \right) = {f^3}\left( x \right) - 3{f^2}\left( x \right) - 2021\) có 2 điểm cực trị dương. \( \Rightarrow \) Hàm số \({f^3}\left( {\left| x \right|} \right) - 3{f^2}\left( {\left| x \right|} \right) - 2021\) có 5 điểm cực trị. Ta có BBT hàm số \(h\left( x \right) = {f^3}\left( x \right) - 3{f^2}\left( x \right) - 2021\) như sau:
Dựa vào BBT suy ra BBT hàm số \({f^3}\left( {\left| x \right|} \right) - 3{f^2}\left( {\left| x \right|} \right) - 2021\) như sau:
Dựa vào BBT ta thấy phương trình \({f^3}\left( {\left| x \right|} \right) - 3{f^2}\left( {\left| x \right|} \right) - 2021 = 0\) có 2 nghiệm phân biệt. Vậy hàm số \(g\left( x \right) = \left| {{f^3}\left( {\left| x \right|} \right) - 3{f^2}\left( {\left| x \right|} \right) - 2021} \right|\) có tất cả \(5 + 2 = 7\) điểm cực trị. Chọn A
