Đáp án đúng: D
Phương pháp giải:
- Xét các phương trình hoành độ giao điểm để tìm tọa độ các điểm \(A,\,\,B,\,\,C\).
- Áp dụng công thức tính diện tích tam giác \(ABC\): \({S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{2}AB.d\left( {C;Ox} \right)\).
Giải chi tiết:+ Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số \(y = {\log _2}x + 1\) và đồ thị hàm số \(y = {\log _2}\left( {x + 4} \right)\) là nghiệm của phương trình:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,{\log _2}x + 1 = {\log _2}\left( {x + 4} \right)\\ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {2x} \right) = {\log _2}\left( {x + 4} \right)\\ \Leftrightarrow 2x = x + 4\\ \Leftrightarrow x = 4\end{array}\)
\( \Rightarrow y = {\log _2}4 + 1 = 3 \Rightarrow C\left( {4;3} \right)\).
+ Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số \(y = {\log _2}x + 1\) trục hoành là nghiệm của phương trình:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,{\log _2}x + 1 = 0\\ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {2x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 2x = 1 \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{2}\end{array}\)
\( \Rightarrow B\left( {\dfrac{1}{2};0} \right)\).
+ Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số \(y = {\log _2}\left( {x + 4} \right)\) trục hoành là nghiệm của phương trình:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,{\log _2}\left( {x + 4} \right) = 0\\ \Leftrightarrow x + 4 = 1 \Leftrightarrow x = - 3\end{array}\)
\( \Rightarrow A\left( { - 3;0} \right)\).
Ta có: \(AB = \left| {\dfrac{1}{2} - \left( { - 3} \right)} \right| = \dfrac{7}{2};\,\,d\left( {C;Ox} \right) = \left| {{y_C}} \right| = 3\).
Vậy \({S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{2}AB.d\left( {C;Ox} \right) = \dfrac{1}{2}.\dfrac{7}{2}.3 = \dfrac{{21}}{4}\).
Chọn D.
