Đáp án: - 3/√85
Giải thích các bước giải:
Vẽ MP//DN ( P ∈ AD) ⇒ góc (SM, DN) = góc (SPM)
Áp dụng định lý hs cosin cho ΔSMP ta có: SP² = SM² + MP² - 2SM.MP.cosin(∠SMP)
⇒ cosin(∠SPM) = (SP² + MP² - SM²)/(2SP.MP) (*)
Tính SM² : theo giả thiết SA = AB = a ⇒ ΔSAB cân tại A mà SB = a√3 ⇒ ∠SAB = 120o
SM² = SA² + AM² - 2SA.AM.cosin(∠SAB) = a² + a²/4 - 2a(a/2)cos(120o) = 7a²/4 (1)
Tính MP² : theo giả thiết và cách dựng ⇒ AP = a/4 và ΔAMP vuông tại A
MP² = AM² + AP² = a²/4 + a²/16 = 5a²/16 (2)
Tính SP² : theo giả thiết (ABCD)⊥(SAB) mà AD⊥AB ⇒ AD⊥(SAB) ⇒ AD⊥SA hay ΔSAP vuông tại A
SP² = SA² + AP² = a² + a²/16 = 17a²/16 (3)
Thay (1); (2); (3) vào (*)
cosin(∠SMP) = (SP² + MP² - SM²)/2SP.MP= (17a²/16 + 5a²/16 - 7a²/4)/2(a√17/4)(a√5/4) = - 3/√85
