Bài này khá phức tạp, bạn tham khảo lời giải này xem sao:
Gọi các điểm như hình vẽ bên.
Ta có SH là đường cao của hình chóp.
Do \(\left( {ABM} \right) \bot \left( {SCD} \right)\) nên ta có \(HI \bot (SCD) \Rightarrow HI \bot SJ.\)
Từ đó ta có \(\Delta SHJ\) là tam giác vuông cân tại H hay SH=HJ=AD.
Ta có KM//BD suy ra góc giữa AM và BD là \(\widehat {AMK} = {90^0}.\)
Tam giác SAD vuông tại A và M là trung điểm của SD, suy ra: \(AM = \frac{1}{2}SD.\)
Ta có KM là đường trung bình của tam giác SBD nên \(KM = \frac{1}{2}BD.\)
Áp dụng công thức tính độ dài trung tuyến:
\(A{K^2} = \frac{{A{B^2} + S{A^2}}}{2} - \frac{{S{B^2}}}{4} = 2{a^2} + \frac{1}{4}S{A^2}\)
Mặt khác:
\(\begin{array}{l}A{K^2} = K{M^2} + A{M^2} = \frac{1}{4}(B{D^2} + S{D^2})\\ = \frac{1}{4}\left( {4{a^2} + A{D^2} + S{A^2} + A{D^2}} \right) = {a^2} + \frac{1}{2}A{D^2} + \frac{1}{4}S{A^2}\end{array}\)
Suy ra: \(2{a^2} + \frac{1}{4}S{A^2} = {a^2} + \frac{1}{2}A{D^2} + \frac{1}{4}S{A^2} \Rightarrow SH = AD = a\sqrt 2 .\)
Chú ý: \({V_{S.BCM}} = \frac{1}{2}{V_{S.BCD}} = \frac{1}{4}{V_{S.ABCD}} = \frac{1}{4}.\frac{1}{3}.{S_{ABCD}} = \frac{{{a^3}}}{3}.\)
