Đáp án đúng: A

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp tọa độ hóa.Giải chi tiết:
Gọi \(E\) là trung điểm của \(CD\) \( \Rightarrow ABCE\) là hình chữ nhật.
Đặt hệ trục tọa độ như hình vẽ, coi \(a = 1\). Ta có:
\(A\left( {0;0;0} \right)\), \(B\left( {0;1;0} \right),\,\,C\left( {2;1;0} \right);\,\,E\left( {2;0;0} \right)\), \(S\left( {0;0;\sqrt 3 } \right)\).
Vì \(E\) là trung điểm của \(CD \Rightarrow D\left( {2; - 1;0} \right)\).
Vì \(M\) là trung điểm của \(SD\) \( \Rightarrow M\left( {1; - \dfrac{1}{2};\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)\).
Vì \(2\overrightarrow {NA}  + \overrightarrow {NS}  = \overrightarrow 0  \Rightarrow \overrightarrow {SN}  = \dfrac{2}{3}\overrightarrow {SA} \).
\( \Rightarrow \left( {{x_N};{y_N};{z_N} - \sqrt 3 } \right) = \dfrac{2}{3}\left( {0;0; - \sqrt 3 } \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_N} = 0\\{y_N} = 0\\{z_N} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}\end{array} \right. \Rightarrow N\left( {0;0;\dfrac{{\sqrt 3 }}{3}} \right)\).
Ta có: \(\left( {ABCD} \right)\) có 1 VTPT là \(\overrightarrow {{n_1}}  = \overrightarrow k  = \left( {0;0;1} \right)\).
          \(\left( {SAC} \right)\) có 1 VTPT là \(\overrightarrow {{n_2}}  = \left[ {\overrightarrow k ;\overrightarrow {AC} } \right] = \left( { - 1;2;0} \right)\).
\(\overrightarrow {MN}  = \left( { - 1;\dfrac{1}{2}; - \dfrac{{\sqrt 3 }}{6}} \right)\) nên \(\left( \alpha  \right)\) chứa \(MN\) và vuông góc với \(\left( {SAC} \right)\) có 1 VTPT là \(\overrightarrow {{n_3}}  = \left[ {\overrightarrow {{n_2}} ;\overrightarrow {MN} } \right] = \left( { - \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}; - \dfrac{{\sqrt 3 }}{6};\dfrac{3}{2}} \right)//\left( { - 2; - 1;3\sqrt 3 } \right) = \overrightarrow n \).
Vậy \(\cos \alpha  = \dfrac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}} = \dfrac{{3\sqrt 3 }}{{4\sqrt 2 }} = \dfrac{{3\sqrt 6 }}{8}\).
Chọn A