Đáp án đúng:
Phương pháp giải:
Sử dụng định lý Py-ta-go, công thức tính diện tích xung quanh và bất đẳng thức \({a^2} + {b^2} \ge 2ab\).
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(a = b\).Giải chi tiết:
Gọi \(M\) là trung điểm của \(AB\). Khi đó, \(SM\) là trung đoạn của hình chóp.
Đặt\(AB = x\).
\(S{M^2} = S{B^2} - {\left( {\dfrac{x}{2}} \right)^2} = {a^2} - \dfrac{{{x^2}}}{4}\)\( \Rightarrow SM = \dfrac{1}{2}\sqrt {4{a^2} - {x^2}} \)
Diện tích xung quanh của hình chóp là: \({S_{xq}} = \dfrac{{3x}}{2}.\dfrac{1}{2}\sqrt {4{a^2} - {x^2}} \)\( = \dfrac{{3x}}{4}\sqrt {4{a^2} - {x^2}} \)
Áp dụng bất đẳng thức \({a^2} + {b^2} \ge 2ab\) hay \(ab \le \dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{2}\)ta được:
\(x.\sqrt {4{a^2} - {x^2}} \le \dfrac{{{x^2} + 4{a^2} - {x^2}}}{2} = 2{a^2}\)
Do đó, \({S_{xq}} \le \dfrac{3}{4}.2{a^2} = \dfrac{3}{2}{a^2}.\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x = \sqrt {4{a^2} - {x^2}} \) \( \Leftrightarrow {x^2} = 4{a^2} - {x^2}\)\( \Leftrightarrow {x^2} = 2{a^2}\)
Khi đó, \(S{A^2} + S{B^2} = A{B^2}\) (vì \({a^2} + {a^2} = 2{a^2}\)).
\( \Rightarrow \Delta SAB\) vuông tại \(S\) (định lý Py-ta-go đảo)
\( \Rightarrow SA \bot SB\) (định nghĩa)
Chứng minh tương tự, ta có:\(SB \bot SC;\,\,SC \bot SA\)
Vậy \({\rm{max}}\,{S_{xq}} = \dfrac{3}{2}{a^2}\) khi \(SA,\,\,SB,\,\,SC\) vuông góc với nhau từng đôi một (đpcm).
