Đáp án đúng: A

Phương pháp giải:

- Xác định góc giữa hai mặt phẳng bằng góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến.
- Sử dụng định lí \(a//\left( P \right) \supset b \Rightarrow d\left( {a;b} \right) = d\left( {a;\left( P \right)} \right) = d\left( {M;\left( P \right)} \right)\,\,\left( {M \in a} \right)\).
- Sử dụng phương pháp đổi đỉnh để tính khoảng cách.Giải chi tiết:
Gọi \(G\) là tâm tam giác đều \(ABC\), \(M\) là trung điểm của \(BC\).
\( \Rightarrow B'G \bot \left( {ABC} \right)\).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot GM\\BC \bot B'G\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {B'GM} \right) \Rightarrow BC \bot B'M\).
\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {BCC'B'} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC\\B'M \subset \left( {BCC'B'} \right),\,\,B'M \bot BC\\GM \subset \left( {ABC} \right),\,\,GM \bot BC\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \angle \left( {\left( {BCC'B'} \right);\left( {A'B'C'} \right)} \right) = \angle \left( {\left( {BCC'B'} \right);\left( {ABC} \right)} \right) = \angle \left( {B'M;GM} \right) = \angle B'MG = {60^0}\).
Ta có \(AA'//BB' \Rightarrow AA'//\left( {BCC'B'} \right) \supset B'C\) \( \Rightarrow d\left( {AA';B'C} \right) = d\left( {AA';\left( {BCC'B'} \right)} \right) = d\left( {A;\left( {BCC'B'} \right)} \right)\).
Ta có \(AG \cap \left( {BCC'B'} \right) = M \Rightarrow \frac{{d\left( {A;\left( {BCC'B'} \right)} \right)}}{{d\left( {G;\left( {BCC'B'} \right)} \right)}} = \frac{{AM}}{{GM}} = 3\) \( \Rightarrow d\left( {A;\left( {BCC'B'} \right)} \right) = 3d\left( {G;\left( {BCC'B'} \right)} \right)\).
Trong \(\left( {B'GM} \right)\) kẻ \(GK \bot B'M\) ta có \(\left\{ \begin{array}{l}GK \bot B'M\\GK \bot BC\,\,\left( {BC \bot \left( {B'GM} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow GK \bot \left( {BCC'B'} \right)\).
\( \Rightarrow d\left( {G;\left( {BCC'B'} \right)} \right) = GK\).
Ta có \(\Delta ABC\) đều cạnh \(a\) \( \Rightarrow AM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow GM = \frac{1}{3}AM = \frac{{a\sqrt 3 }}{6}\).
Xét tam giác vuông \(GKM\) có: \(GK = GM.\sin {60^0} = \frac{a}{4}\).
Vậy \(d\left( {AA';B'C} \right) = 3GK = \frac{{3a}}{4}\).
Chọn A