Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R và AH là đường cao của tam giác ABC. Gọi M, N thứ tự là hình chiếu của H trên AB, AC.1) Chứng minh tứ giác AMHN là tứ giác nội tiếp.2) Chứng minh \(\angle ABC = \angle ANM.\)3) Chứng minh OA vuông góc với MN.4)

myduyen2009

2 năm trước

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R và AH là đường cao của tam giác ABC. Gọi M, N thứ tự là hình chiếu của H trên AB, AC.
1) Chứng minh tứ giác AMHN là tứ giác nội tiếp.
2) Chứng minh \(\angle ABC = \angle ANM.\)
3) Chứng minh OA vuông góc với MN.
4) Cho biết \(AH = R\sqrt 2 \). Chứng minh M, O, N thẳng hàng.
A.
B.
C.
D.

Loga Hóa Học lớp 12

0 lượt thích 132 xem

1 trả lời

Thích Trả lời

plhy15112002

Đáp án đúng:
Giải chi tiết:
1) Chứng minh tứ giác AMHN là tứ giác nội tiếp.
Ta có M, N là hình chiếu của H trên AB, AC \( \Rightarrow \angle AMH = \angle ANH = {90^0}\)
Xét tứ giác AMHN ta có: \(\angle AMH + \angle ANH = {180^0}.\)
Suy ra tứ giác AMHN là tứ giác nội tiếp (dhnb).
2) Chứng minh \(\angle ABC = \angle ANM.\)
Ta có tứ giác AMHN là tứ giác nội tiếp suy ra \(\angle MAH = \angle MNH\)
(hai góc nội tiếp tiếp cùng chắn cung MH).
Mặt khác: \(\angle BAH + \angle ABH = {90^0}\;\;(\Delta ABH\) vuông tại H).
\(\angle ANM + \angle MNH = {90^0}\;\;\left( {\angle ANH = {{90}^0}} \right)\)
Suy ra: \(\angle ABH = \angle ANM\;\;\left( { = {{90}^0} - \angle MNH} \right)\;\;\;(dpcm).\)
3) Chứng minh OA vuông góc với MN.
Kéo dài OA cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại A’.
Ta có: \(\angle CA'A = \angle ABC\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC)
Góc \(\angle A'CA\) chắn nửa đường tròn nên \(\angle A'CA = {90^0}.\)
\( \Rightarrow \angle CA'A + \angle A'AC = {90^0}.\) (Tổng hai góc trong tam giác vuông)
Mà \(\angle ABC + \angle BAH = {90^0}\;\;(\Delta ABH\) vuông tại H).
\( \Rightarrow \angle BAH = \angle A'AC.\)
Lại có: \(\angle ABC = \angle ANM\;\;\left( {cmt} \right)\)
\( \Rightarrow \angle A'AC + \angle ANM = {90^0} \Rightarrow OA \bot MN\;\;(dpcm).\)
4) Cho biết \(AH = R\sqrt 2 \). Chứng minh M, O, N thẳng hàng.
Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta AHC\) vuông tại H và có đường cao AN ta có:
\(\begin{array}{l}A{H^2} = AN.AC = {\left( {R\sqrt 2 } \right)^2} = 2{R^2} = AO.AC\\ \Rightarrow AN.AC = AO.AC\\ \Rightarrow \frac{{AN}}{{AC}} = \frac{{AO}}{{AC}}.\end{array}\)
Xét \(\Delta AON\) và \(\Delta AA'C\) ta có:
\(\begin{array}{l}\frac{{AN}}{{AC}} = \frac{{AO}}{{AC}}\;\;\left( {cmt} \right)\\\angle A\;\;chung\\ \Rightarrow \Delta AON \sim \Delta ACA'\;\;\left( {c - g - c} \right).\\ \Rightarrow \angle AON = \angle ACA' = {90^0}\end{array}\)
Chứng minh tương tự ta có: \(\angle AOM = \angle A'BA = {90^0}\)
\( \Rightarrow \angle AOM + \angle AON = {90^0} + {90^0} = {180^0} \Rightarrow O,\;M,\;N\) thẳng hàng (đpcm).

Vote (0) Phản hồi (0) 2 năm trước

Các câu hỏi liên quan

Cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(B\) , đường cao \(BK\left( {K \in AC} \right).\) Vẽ \(BH\) là tia phân giác của \(\angle ABK\left( {H \in AC} \right).\) Kẻ \(HD\) vuông góc với \(AB.\)
a) Chứng minh \(\Delta BHK = \Delta BHD\)
b) Gọi giao điểm của \(DH\) và \(BK\) là \(I\) . Chứng minh : \(IK = AD.\)
c) Chứng minh \(DK//AI\)
d) Các đường phân giác của \(\Delta BKC\) cắt nhau tại \(M\) . Gọi \({\rm N}\) là giao điểm của \(CM\,\)và \(BK\). Chứng minh \({\rm N}\) là trực tâm của \(\Delta BHC.\)
A.
B.
C.
D.

Cho hai đa thức
\(\begin{array}{l}P\left( x \right) = 1 + 3{x^4} + 2{x^2} + {x^4} + {x^3} + 5{x^2} + 3{x^3};\,\,\,\,\,\\Q\left( x \right) = - 4{x^4} - 2{x^2} - 4{x^3} + 2x - 4{x^2} - x - \frac{1}{4}\end{array}\)
a) Thu gọn và sắp xếp các đa thức theo lũy thừa giảm dần của biến.
b) Tính \(P\left( x \right) + Q\left( x \right);\,P\left( x \right) - Q\left( x \right).\)
c) Chứng tỏ \(P\left( x \right) + Q\left( x \right)\) không có nghiệm.
A.
B.
C.
D.

Hình ảnh tấm vé và con tàu trong câu thơ: Ta biến thành con tàu, thành tấm vé tượng trưng cho điều gì? (1,0 điểm)
A.
B.
C.
D.

Hãy viết 01 đoạn văn (khoảng 200 chữ) trình bày về những nhận thức và hành động của bản thân để sự sống trở nên có ý nghĩa.
A.
B.
C.
D.

Cho tam giác \(ABC\) cân tại \(A\). Kẻ đường cao \(BH\)(\(H\)thuộc đường thẳng \(AC\)). Chứng minh \(B{C^2} = 2CH.AC\).
A.
B.
C.
D.

Cho đường tròn \(\left( O \right)\)đường kính \(AB\). Kẻ đường thẳng \(d\) là tiếp tuyến của đường tròn tại \(B\). Qua \(A\) kẻ 2 đường thẳng cắt đường thẳng \(d\) lần lượt ở \(E,F\) (điểm \(B\)nằm giữa \(E,F\)). \(AE\)cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại điểm thứ 2 là \(C\), \(FA\) cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại điểm thứ hai là \(D\). Chứng minh \(CDFE\) là tứ giác nội tiếp
A.
B.
C.
D.

Phân tích tác phẩm Chuyện người con gái Nam Xương (trích Truyền kì mạn lúc) của Nguyễn Dữ để chứng minh rằng:
Tác phẩm là một áng văn hay, thành công về nghệ thuật dựng truyện, miêu tả nhân vật, kết hợp tự sự với trữ tình và những yếu tố kì ảo.
A.
B.
C.
D.

Trong các câu 7,8,9 câu nào là câu ghép. Xác định mối quan hệ ý nghĩa giữa các vế trong câu ghép.
A.
B.
C.
D.

Xác định và gọi tên thành phần biệt lập được dung ở câu (2) (3). Nêu tác dụng của chúng.
A.
B.
C.
D.

Loga.vn - Cộng Đồng Luyện Thi Trực Tuyến