Lời giải:

Kéo dài $GC$ cắt $AB$ tại $H$.

\(\Rightarrow \overrightarrow {GC}=\frac{2}{3}\overrightarrow{HC}=\frac{2}{3}(\overrightarrow{HA}+\overrightarrow{AC})\)

Do tam giác $ABC$ đều nên $CH$ là trung trực của $AB$

\(\Rightarrow \overrightarrow{HA}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}\)

Vậy:

\(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{AB}-\frac{2}{3}(\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC})\)

\(=\overrightarrow{AB}-\frac{1}{3}\overrightarrow{BA}-\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}=\frac{4}{3}\overrightarrow{AB}-\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}=\frac{2}{3}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC})=\frac{2}{3}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CB})\)

Trên tia đối của $BC$ lấy $D$ sao cho \(BD=BC=a\)

\(\Rightarrow \overrightarrow{CB}=\overrightarrow{BD}\)

\(\Rightarrow \overrightarrow{AB}-\overrightarrow{GC}=\frac{2}{3}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD})=\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}\)

\(\Rightarrow |\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{GC}|=\frac{2}{3}|\overrightarrow{AD}|\)

Xét tam giác $ADC$ có trung truyến $AB$ bằng một nửa cạnh huyền $DC$ nên là tam giác vuông tại $A$

\(\Rightarrow AD=\sqrt{DC^2-AC^2}=\sqrt{(2a)^2-a^2}=\sqrt{3}a\)

Do đó \(|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{GC}|=\frac{2}{3}.\sqrt{3}a=\frac{2\sqrt{3}a}{3}\)