`a)` $∆ABC$ có $BN;CP$ là đường cao
`=>BN`$\perp AC$ `=>\hat{BNC}=90°`
`\qquad CP`$\perp AB$ `=>\hat{BPC}=90°`
`=>`Tứ giác $BCNP$ có hai đỉnh $N$ và $P$ cùng nhìn cạnh $BC$ dưới góc vuông nên $BCNP$ nội tiếp đường tròn $(I)$ đường kính $BC$
`=>IN=IP={BC}/2`
`=>∆INP` cân tại $I$ $(1)$
$∆ACP$ vuông tại $P$
`=>\hat{CAP}+\hat{ACP}=90°`(hai góc phụ nhau)
`=>\hat{ACP}=90°-\hat{CAP}=90°-60°=30°`
Ta có:
`\hat{NIP}=2\hat{NCP}` (góc ở tâm và góc nội tiếp cùng chắn cung $NP$)
`=>\hat{NIP}=2.30°=60°` $(2)$
Từ `(1);(2)=>∆INP` đều
`b)`
$AM$ là đường cao $∆ABC$
`=>AM`$\perp BC$
`=>\hat{AMI}=90°`
$∆BCP$ có $I;E$ lần lượt là trung điểm của $BC;BP$
`=>IE` là đường trung bình $∆BCP$
`=>IE`//$CP$
Mà $CP\perp AB$ (vì $CP$ là đường cao)
`=>IE`$\perp AB$
`=>\hat{AEI}=90°`
Tương tự ta c/m được `\hat{AKI}=90°`
`=>\hat{AMI}=\hat{AEI}=\hat{AKI}=90°`
`=>I,M,E,K` cùng thuộc đường tròn đường kính $AI$ (đpcm)
`c)` $∆INP$ đều có $IA$ là phân giác của `\hat{NIP}`
`=>IA` là đường trung trực của $NP$
`=>AN=AP`
`=>∆ANP` cân tại $A$
Mà `\hat{NAP}=60°` (gt)
`=>∆ANP` đều
`=>\hat{ANP}=60°`
Ta có `90°=\hat{ANB}=\hat{ANP}+\hat{BNP}`
`=>\hat{BNP}=90°-\hat{ANP}=90°-60°=30°`
Tứ giác $BCNP$ nội tiếp (câu $a$)
`=>\hat{BCP}=\hat{BNP}=30°`
(góc nội tiếp cùng chắn cung $BP$)
Vậy `\hat{BCP}=30°`
