a) Chứng minh \(\widehat{ PAC} = \widehat{ PBA}\)
Ta có: \(\widehat{BCA}\) là góc nội tiếp chắn cung \(AB\)
\(\widehat{ PAB}\) là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung chắn cung \(AB\)
\( \Rightarrow \widehat{ BAC} = \widehat{ BAP}\,\,\,\,hay\,\,\,\widehat{ PAC} = \widehat{ PAB}\)
Xét \(\Delta PAB\) và \(\Delta PCA\) ta có:
\(\begin{array}{l}\widehat P\,\,\,chung\\\widehat{ PAB} = \widehat{ PCA}\,\,\left( {cmt} \right)\\ \Rightarrow \Delta PAB \sim \Delta PCA\,\,\,\left( {g - g} \right).\\ \Rightarrow \widehat{ PAC }= \widehat{PBA}\,\,\,\left( {đpcm} \right)\end{array}\)
b) Chứng minh \(P{A^2} = PB.PC\)
Ta có: \(\Delta PAB \sim \Delta PCA\,\,\,\left( {cmt} \right)\)
\( \Rightarrow \dfrac{{PA}}{{PC}} = \dfrac{{PB}}{{PA}} \Leftrightarrow P{A^2} = PB.PC\,\,\,\left( {đpcm} \right)\)
c) Chứng minh \(M{B^2} = MA.MD\)
Ta có: \(AM\) là phân giác của \(\widehat{ BAC} \Rightarrow \widehat{ BAM} = \widehat{ MAC}\)
Mà \(\widehat{ BAM}\) là góc nội tiếp chắn cung \(BM\)
\(\widehat{ CAM}\) là góc nội tiếp chắn cung \(CM\)
\( \Rightarrow cung\,\,BM = cung\,\,CM\)
Lại có: \(\widehat{MBC}\) là góc nội tiếp chắn cung \(CM\)
\( \Rightarrow \widehat{ MBC} = \widehat{ BAM}\) (hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau)
Xét \(\Delta ABM\) và\(\Delta BDM\) ta có:
\(\begin{array}{l}\widehat{AMB}\,\,\,chung\\\widehat{ BAM} = \widehat{ MBD}\,\,\,\left( {cmt} \right)\\ \Rightarrow \Delta ABM \sim \Delta BDM\,\,\,\left( {g - g} \right)\\ \Rightarrow \dfrac{{MA}}{{BM}} = \dfrac{{BM}}{{DM}} \Leftrightarrow B{M^2} = MA.MD\,\,\,\left( {đpcm} \right)\end{array}\)
