Lời giải.
`a)` Xét `ΔABC` và `ΔADE` có:
`hat{DAE}=hat{BAC}=90^0`
`AB=AD` (do `ΔABD` cân tại `A`)
`AE=AC` (do `ΔAEC` cân tại `A`)
`=>ΔABC=ΔADE(c.g.c)`
`=>BC=DE` (hai cạnh tương ứng)
Vậy `BC=DE.`
`b)` Ta có: `ΔABD` vuông cân tại `A=>hat{ADB}=hat{ABD}={180^0-90^0}/2=45^0` `(1)`
Tương tự: ta cũng có: `hat{AEC}=hat{ACE}=45^0` `(2)`
Từ `(1)` và `(2)` suy ra `hat{BDA}=hat{DCE}=45^0`
Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên ta suy ra $BD//CE$
Vậy $BD//CE.$
`c)` Ta có: ba điểm `M,A,H` thẳng hàng (theo giả thiết)
Xét `ΔMCN` có:
+) `MH` và `NF` là hai đường cao `(F` là giao điểm của `AN` với `MC)`
`+)MH∩NF={A}`
`=>A` là trực tâm của `ΔMCN`
`=>CA` là đường cao của `ΔMCN`
`<=>CA⊥NM`
Vậy `CA⊥NM.`
`d)` Kẻ `EI⊥AM(I∈AM),DG⊥AM(G∈AM)`
Xét `ΔIAE` và `ΔHCA` có:
`hat{EIA}=hat{CHA}=90^0`
`hat{IAE}=hat{ACH}` (cùng phụ với `hat{HAC}`)
`AC=AE` (do `ΔAEC` cân tại `A`)
`=>ΔIAE=ΔHCA(ch.gn)`
`=>IE=AH` (hai cạnh tương ứng)
Chứng minh tương tự: `ΔGDA=ΔHAB(ch.gn=>GD=AH` (hai cạnh tương ứng)
Từ các điều trên ta suy ra, `GD=IE(=AH)`
Xét `ΔMIE` và `ΔMGD` có:
`hat{MIE}=hat{MGE}=90^0`
`hat{IME}=hat{GMD}` (hai góc đối đỉnh)
`GD=IE` (chứng minh trên)
`=>ΔMIE=ΔMGD(ch.gn)`
`=>ME=MD` (hai cạnh tương ứng)
Lại có: ba điểm `D,M,E` thẳng hàng `=>M` là trung điểm của `DE`
`=>AM` là trung tuyến của `Δ` vuông `DAE`
`=>AM={DE}/2` (theo tính chất: trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền)
Vậy `AM={DE}/2.`
Lưu ý: (tính chất: trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền) trong SGK, có thể tự chứng minh được.
Hình vẽ.
