Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn \(-1-2\sqrt{2} 0,z> 0\) và \(x+y+z=-1\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(P=\frac{1}{(x+y)^2}+\frac{1}{(x+z)^2}+\frac{1}{8-(y+z)^2}\)

Dungem

6 năm trước

Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn \(-1-2\sqrt{2}< x< -1+2\sqrt{2},y> 0,z> 0\) và \(x+y+z=-1\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
\(P=\frac{1}{(x+y)^2}+\frac{1}{(x+z)^2}+\frac{1}{8-(y+z)^2}\)

Loga Toán lớp 12

0 lượt thích 330 xem

1 trả lời

Thích Trả lời

Gonti1705

Ta có \(P=\frac{1}{(-1-z)^2}+\frac{1}{(-1-y)^2}+\frac{1}{8-(-1-x)^2}\)
\(=\frac{1}{(1+y)^2}+\frac{1}{(1+z)^2}+\frac{1}{8-(1+x)^2}\)
Ta sẽ chứng minh \(\frac{1}{(1+y)^2}+\frac{1}{(1+z)^2}\geq \frac{1}{1+yz}\)
Thật vậy: \(\frac{1}{(1+y)^2}+\frac{1}{(1+z)^2}\geq \frac{1}{1+yz}\Leftrightarrow (1+yz)\left [ (1+z)^2+(1+y)^2 \right ]\geq \left [ (1+z)(1+y) \right ]^2\)
\(\Leftrightarrow (1+yz)(2+2z+2y+z^2+y^2)\geq (1+zy+z+y)^2\)
\(\Leftrightarrow 2(z+y)(1+zy)+2(1+yz)+(1+zy)(y-z)^2+2zy(1+yz)\)
\(\geq (1+zy)^2+2(z+y)(1+zy)+(z+y)^2\)
\(\Leftrightarrow (1+zy)(y-z)^2+2+4yz+2y^2z^2-(1+yz)^2-(y-z)^2-4yz\geq 0\)
\(\Leftrightarrow yz(y-z)^2+(1-yz)^2\geq 0\) (hiển nhiên đúng).
Dấu “=” xảy ra khi y = z =1.
Ta lại có \(\frac{y+z}{2}\geq \sqrt{yz}\Rightarrow yz\leq \left ( \frac{y+z}{2} \right )^2=\frac{(-1-x)^2}{4}=\frac{(1+x)^2}{4}\)
Do đó \(\frac{1}{(1+y)^2}+\frac{1}{(1+z)^2}\geq \frac{1}{1+yz}\geq \frac{1}{1+\frac{(1+x)^2}{4}}=\frac{4}{4+(1+x)^2}\)

\(\Rightarrow P\geq \frac{4}{4+(1+x)^2}+\frac{1}{8-(x+1)^2}\)
Do \(-1- 2\sqrt{2}< x < -1+ 2 \sqrt{2}\) nên \((x+1)^2\in [ 0;8)\)
Đặt \(t=(1+x)^2\Rightarrow t\in[ 0;8)\) và \(P\geq \frac{4}{4+t}+\frac{1}{8-t}\)
Xét \(f(t)=\frac{4}{(4+t)^2}+\frac{1}{8-t}\) với \(t\in[ 0;8)\)
\(f'(t)=-\frac{4}{(4+t)^2}+\frac{1}{(8-t)^2}=\frac{-3t^2+72t-240}{(4+t)^2(8-t)^2}\)
\(f'(t)=0\Leftrightarrow -3t^2+72t-240=0\Leftrightarrow t=4; t=20 \ \ (loai)\)
Bảng biến thiên

Do đó \(P\geq f(t)\geq \frac{3}{4}\) và \(P= \frac{3}{4}\) khi \(\left\{\begin{matrix} (1+x)^2=4\\ y=z=1\\ x+y+z=-1 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=-3\\ y=z=1 \end{matrix}\right.\)
Vậy min \(P= \frac{3}{4}\) khi x = -3, y = z = 1

Vote (0) Phản hồi (0) 6 năm trước

Các câu hỏi liên quan

mn người ơi, giải giúp em vs, bài này khó quá!

Tìm các điểm cực đại, cực tiểu của hàm số \(y=x-5+\frac{1}{x}\)

Cho hàm số \(y=\frac{2x+2}{2x+1} \ \ (C)\)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại giao điểm của đồ thị (C) với trục hoành.
c) Tìm m để đường thẳng \(d:y=2mx+m+1\) cắt (C) tại hai điểm phân biệt A và B sao cho biểu thức P = OA2 + OB2 đạt giá trị nhỏ nhất (với O là gốc tọa độ).

Làm toát mồ hôi mà vẫn không ra, giúp em vs!

(1,5 điểm)

Chứng minh rằng phương trình \(2x^2\sqrt{x-2}=11\) có nghiệm duy nhất.
Xét hàm số \(y=2x^2\sqrt{x-2}\), hàm số này liên tục trên \([2;+\infty )\)

Khó quá, em bỏ cuộc rồi, mọi người giúp vs! Em cảm ơn nhiều ạ.

Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C', có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB =a, AC = \(a\sqrt{3}\), mặt bên BCC'B' là hình vuông, M, N lần lượt là trung điểm của CC' và B'C'. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C' và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A'B' và MN.

Giải hệ phương trình: \(\left\{\begin{matrix} x^3-y^3+5x^2+10x-3y+6=0\\ \sqrt{x+2}+\sqrt{4-y}=x^3+y^2-4x-2y \end{matrix}\right.\)

Làm toát mồ hôi mà vẫn không ra, giúp em vs!

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A(1;1;2), B(-1;2;1), C(2;-1;0). Viết phương trình mặt phẳng (ABC). Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I(1;-2;3) và tiếp xúc với mặt phẳng (ABC).

Em sẽ rất biết ơn ai giải giúp em bài này!

Tính tích phân: \(I=\int_{0}^{1}(1-x).e^xdx\)

Giải phương trình \(\frac{x^2+2x-8}{x^2-2x+3}=(x+1)(\sqrt{x+2}-2)\) trên tập só thực.

Tính tích phân sau: \(I=\int_{0}^{1}(\sqrt{1+3x^2}+e^x)xdx\)

Khó quá, em bỏ cuộc rồi, mọi người giúp vs! Em cảm ơn nhiều ạ.

Tìm nguyên hàm \(\int \frac{(x+1)\ln x}{x}dx\).

Loga.vn - Cộng Đồng Luyện Thi Trực Tuyến