Đẳng thức đã cho tương đương vs
$-\dfrac{7}{10} (43^{13} - 17^{17})$
Để cminh đẳng thức trên là một số nguyên thì ta cần cminh
$43^{13} - 17^{17}$ chia hết cho 10.
Ta sẽ xét các chữ số tận cùng của $43^{13}$ và $17^{17}$
Với $43^{13}$ ta thấy rằng các chữ số tận cùng của các lũy thừa của các số có tận cùng là 3 là
$3^1 = 3, 3^2 = 9, 3^3 = 27, 3^4 = 81, 3^5 = 243$
Vậy chữ số tận cùng của $43^{13}$ là chữ số thứ 13 của dãy 3, 9, 7, 1, 3,\dots. Vậy chữ số tận cùng của $43^{13}$ là 3.
Với $17^{17}$ ta thấy rằng các chữ số tận cùng của các lũy thừa của các số có tận cùng là 7 là
$7^1 = 7, 7^2 = 49, 7^3 = 343, 7^4 = 2401, 7^5 =16807$
Vậy chữ số tận cùng của $17^{17}$ là chữ số thứ 17 của dãy 7,9,3,1,7,\dots. Vậy chữ số tận cùng của $17^{17}$ là 3.
Vậy ta có hiệu $43^{43} -17^{17}$ có tận cùng là 0, do đó chia hết cho 10.
Vậy số đã cho là số nguyên.
