Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.{A}'{B}'{C}'\) có \(AB=AC=a\), góc \(\widehat{BAC}=120{}^\circ \), \(A{A}'=a\). Gọi \(M\), \(N\) lần lượt là trung điểm của \({B}'{C}'\) và \(C{C}'\). Số đo góc giữa mặt phẳng \(\left( AMN \right)\) và mặt phẳng \(\left( ABC \right)\) bằng
A.\(60{}^\circ \)                                   
B. \(30{}^\circ \).                                                                      
C.   \(\arcsin \frac{\sqrt{3}}{4}\).                                                                                          
D.\(\arccos \frac{\sqrt{3}}{4}\).

Cho x, y là hai số thực dương thỏa mãn điều kiện \(4 + {9.3^{{x^2} - 2y}} = \left( {4 + {9^{{x^2} - 2y}}} \right){.7^{2y - {x^2} + 2}}\) .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \frac{{x + 2y + 18}}{x}.\)
A.  \(P = \frac{{3 + \sqrt 2 }}{2}\)
         
B.    \(P = 1 + 9\sqrt 2 \)
      
C.       \(P = 9\)         
D. Không tồn tại

Cho khối chóp \(S.ABC\) có \(M \in SA,N \in SB\) cho \(\overrightarrow {MA} = - 2\overrightarrow {MS} ,{\rm{ }}\overrightarrow {NS} = - 2\overrightarrow {NB} .\) Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\)đi qua hai điểm M, N và song song với SC chia khối chóp thành hai khối đa diện. Tính tỉ số thể tích của hai khối đa diện đó (số bé chia số lớn).
A. \(\frac{3}{5}\)                                  
 
B.\(\frac{4}{5}\)                                  
C. \(\frac{4}{9}\)                                  
D. \(\frac{3}{4}\)

Một chiếc máy bay chuyển động trên đường băng với vận tốc \(v\left( t \right)={{t}^{2}}+10t\left( \text{m/s} \right)\) với \(t\) là thời gian được tính theo đơn vị giây kể từ khi máy bay bắt đầu chuyển động. Biết khi máy bay đạt vận tốc \(200\left( \text{m/s} \right)\) thì nó rời đường băng. Quãng đường máy bay đã di chuyển trên đường băng là
A.\(\frac{2500}{3}\,\,\left( \text{m} \right)\)          
B.\(2000\,\,\left( \text{m} \right)\)
C.\(4000\,\,\left( \text{m} \right)\)
D.\(\frac{4000}{3}\,\,\left( \text{m} \right)\)

Hãy tính góc mở α nhỏ nhất của chụp đèn sao cho các tia sáng chỉ phản xạ một lần bên trong chụp đèn ( sự phản xạ bên trong chụp đèn coi như phản xạ gương).
A.1200
B.1100
C.1000
D.1250

Cho biểu thức \(P=\frac{{{a}^{\sqrt{7}\,+\,1}}.{{a}^{2\,-\,\sqrt{7}}}}{{{\left( {{a}^{\sqrt{2}\,-\,2}} \right)}^{\sqrt{2}\,+\,2}}}\) với \(a>0.\) Rút gọn biểu thức \(P\) được kết quả
A.\(P={{a}^{3}}.\)               
B. \(P={{a}^{5}}.\)                
C.\(P=a.\)    
D.\(P={{a}^{4}}.\)

Trong không gian với hệ tọa độ \({\rm{Ox}}yz,\) cho tam giác ABC với \(A\left( {1;0;0} \right),B\left( {3;2;4} \right),C\left( {0;5;4} \right).\) Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng \(\left( {{\rm{Ox}}y} \right)\) sao cho \(\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + 2\overrightarrow {MC} } \right|\) nhỏ nhất.
A. \(M\left( {1; - 3;0} \right)\)   
B. \(M\left( {1;3;0} \right)\)                   
C. \(M\left( {3;1;0} \right)\)                   
D. \(M\left( {2;6;0} \right)\)

Cho hình vuông ABCD cạnh a. Trên hai tia Bx, Dy vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) và cùng chiều lấy lần lượt hai điểm M, N sao cho \(BM = \frac{a}{2},DN = a.\). Tính góc \(\varphi \) giữa hai mặt phẳng \(\left( {AMN} \right)\,và \,\left( {CMN} \right).\)
A.             \(\varphi  = {30^ \circ }\)                   
B. \(\varphi  = {90^ \circ }\)                   
C. \(\varphi  = {60^ \circ }\)                   
D. \(\varphi  = {45^ \circ }\)

Một vật chuyển động trong 4 giờ với vận tốc \(v{\rm{ }}km{\rm{ }}/h\) phụ thuộc thời gian \(t\left( h \right)\) có đồ thị là một phần của đường parabol có đỉnh \(I\left( {1;1} \right)\)và trục đối xứng song song với trục tung như hình bên. Tính quãng đường S mà vật di chuyển được trong 4 giờ kể từ lúc xuất phát.
A. \(S = 6km\)                                                    
B. \(S = 8km\)
C.             \(S = \frac{{46}}{3}km\)                                                     
D.\(S = \frac{{40}}{3}km\)

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} - mx + 2\) có hai điểm cực trị A và B sao cho các điểm A, B và\(M\left( {0;3} \right)\)thẳng hàng.
A.             \(m =  - 3\)                 
B. Không tồn tại m
  
C.          \(m =  - \sqrt 2 \)                     
D. \(m = 3\)