Đáp án đúng: A

Phương pháp giải:

- Đặt \(f\left( x \right) = {6^x} - {2^x} - {3^x}\). Tính \(f'\left( x \right)\).
- Chứng minh \(f'\left( x \right) > 0\,\,\forall x > 0,\,\,f'\left( x \right) < 0\,\,\forall x < 0\) và suy ra phương trình \(f'\left( x \right) = 0\) có nghiệm duy nhất \(x = 0\).
- Lập BBT hàm số \(f\left( x \right)\).
- Số nghiệm của phương trình \({6^x} - {2^x} - {3^x} = \dfrac{a}{5}\) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(f\left( x \right) = {6^x} - {2^x} - {3^x}\) và đường thẳng \(y = \dfrac{a}{5}\).Giải chi tiết:Xét hàm số \(f\left( x \right) = {6^x} - {2^x} - {3^x}\) ta có \(f'\left( x \right) = {6^x}\ln 6 - {2^x}\ln 2 - {3^x}\ln 3\).
Ta có:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,f'\left( x \right) = {6^x}\ln 6 - {2^x}\ln 2 - {3^x}\ln 3\\ \Leftrightarrow f'\left( x \right) = {6^x}\left( {\ln 2 + \ln 3} \right) - {2^x}\ln 2 - {3^x}\ln 3\\ \Leftrightarrow f'\left( x \right) = \left( {{6^x} - {2^x}} \right)\ln 2 + \left( {{6^x} - {3^x}} \right)\ln 3\end{array}\)
Với \(x > 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{6^x} > {2^x}\\{6^x} > {3^x}\\\ln 2 > 0,\,\,\ln 3 > 0\end{array} \right. \Rightarrow f'\left( x \right) > 0\)
Với \(x < 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{6^x} < {2^x}\\{6^x} < {3^x}\\\ln 2 > 0,\,\,\ln 3 > 0\end{array} \right. \Rightarrow f'\left( x \right) < 0\).
Với \(x = 0 \Rightarrow f'\left( x \right) = 0\).
Do đó phương trình \(f'\left( x \right) = 0\) có nghiệm duy nhất \(x = 0\).
Ta có BBT:

Dựa vào BBT ta thấy phương trình \({6^x} - {2^x} - {3^x} = \dfrac{a}{5}\) có 2 nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow  - 1 < \dfrac{a}{5} < 0 \Leftrightarrow  - 5 < a < 0\).
Mà \(a \in \mathbb{Z} \Rightarrow a \in \left\{ { - 4; - 3; - 2; - 1} \right\}\). Vậy có 4 giá trị của \(a\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Chọn A.