Đáp án đúng: D

Giải chi tiết:Xét bất phương trình \({\log _4}\left( {{x^2} + y} \right) \ge {\log _3}\left( {x + y} \right)\,\left( 1 \right)\). ĐK: \(\left\{ \begin{array}{l}x + y > 0\\{x^2} + y > 0\end{array} \right.\)
Nếu x = 0 thì \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \ln y\left( {\dfrac{1}{{\ln 4}} - \dfrac{1}{{\ln 3}}} \right) \ge 0 \Leftrightarrow \ln y \le 0 \Leftrightarrow y = 1\) (do y là số nguyên) (thỏa mãn yêu cầu đề bài)
Nếu x = 1 thì \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \ln \left( {y + 1} \right)\left( {\dfrac{1}{{\ln 4}} - \dfrac{1}{{\ln 3}}} \right) \ge 0 \Leftrightarrow \ln \left( {y + 1} \right) \le 0 \Leftrightarrow y = 0\) (do y là số nguyên) (thỏa mãn yêu cầu đề bài)
Nếu x khác 0 và 1, ta có 2 trường hợp sau:
TH1: x + y = 1, bất phương trình \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow {\log _4}\left( {{x^2} - x + 1} \right) \ge 0\), luôn đúng với mọi x nguyên
TH2: x + y > 1, ta có \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \dfrac{{\ln \left( {{x^2} + y} \right)}}{{\ln \left( {x + y} \right)}} \ge \dfrac{{\ln 4}}{{\ln 3}}\,\,\,\left( 2 \right)\)
Với mỗi giá trị x nguyên, ta coi x là tham số, xét hàm số \(f\left( y \right) = \dfrac{{\ln \left( {{x^2} + y} \right)}}{{\ln \left( {x + y} \right)}}\) với y > 1 – x
Ta có \(f'\left( y \right) = \dfrac{{\dfrac{{\ln \left( {x + y} \right)}}{{{x^2} + y}} - \dfrac{{\ln \left( {{x^2} + y} \right)}}{{x + y}}}}{{{{\ln }^2}\left( {x + y} \right)}} = \dfrac{{\left( {x + y} \right)\ln \left( {x + y} \right) - \left( {{x^2} + y} \right)\ln \left( {{x^2} + y} \right)}}{{\left( {x + y} \right)\left( {{x^2} + y} \right){{\ln }^2}\left( {x + y} \right)}}\)
Do hàm số \(g\left( t \right) = t\ln t\) đồng biến trên \(\left( {1; + \infty } \right)\) và \(1 < x + y < {x^2} + y\) với mọi \(x \in \mathbb{Z}\backslash \left\{ {0;1} \right\}\)nên ta có f’(y) < 0 với mọi y thỏa mãn điều kiện.
Suy ra hàm f(y) nghịch biến trên \(\left( {1 - x; + \infty } \right)\)và \(\left( 2 \right) \Leftrightarrow 1 - x < y < {y_0}\) (*) với y0 là nghiệm của phương trình \(f\left( y \right) = \dfrac{{\ln \left( {{x^2} + y} \right)}}{{\ln \left( {x + y} \right)}} = \dfrac{{\ln 4}}{{\ln 3}} \Leftrightarrow {\log _4}\left( {{x^2} + y} \right) = {\log _3}\left( {x + y} \right)\) (3)
Đặt \({\log _4}\left( {{x^2} + {y_0}} \right) = {\log _3}\left( {x + {y_0}} \right) = u\), ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y_0} = {4^u}\\x + {y_0} = {3^u}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - x = {4^u} - {3^u}\\x + {y_0} = {3^u}\end{array} \right.\)
Tổng kết cả hai trường hợp, ta thấy số các số nguyên y thỏa mãn bất phương trình (1) là \(\left[ {{y_0}} \right] - \left( {1 - x} \right) + 1 = \left[ {{y_0}} \right] + x\)
Giá trị này sẽ không vượt quá 242 khi và chỉ khi \({y_0} + x < 243 \Leftrightarrow {3^u} < 243 \Leftrightarrow u < 5 \Leftrightarrow {4^u} - {3^u} < 781\)
(Lưu ý là các hàm số \({3^u}\) và \({4^u} - {3^u}\) đều đồng biến)
Điều này xảy ra khi và chỉ khi
\({x^2} - x = {4^u} - {3^u} < 781 \Leftrightarrow {x^2} - x - 781 < 0\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 27,45 \approx \dfrac{{1 - 25\sqrt 5 }}{2} < x < \dfrac{{1 + 25\sqrt 5 }}{2} \approx 28,45\\x
e 0;x
e 1\end{array} \right.\).
Kết hợp với các giá trị \(x = 0,\,\,x = 1\) ta có tất cả 56 giá trị của \(x\) thỏa mãn bài toán.
Chọn D.