\(\left\{\begin{matrix} \sqrt{x^2+4x+3} + y(1-\sqrt{x+3}) = y^3 + (1-y^2)\sqrt{x+1}\ (pt\ 1)\\ 2(y^2-1)^2(3x^2+1) = (x^2+1)(1-3x\sqrt{4x^2-3}) \ (pt\ 2)\ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right.\)
ĐK: \(\left\{\begin{matrix} x^2 + 4x + 3 \geq 0\\ x + 1 \geq 0 \ \ \ \ \ \ \ \ \\ 4x^2 - 3 \geq 0 \ \ \ \ \ \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x \geq -1\\ \Bigg \lbrack \begin{matrix} x \leq - \frac{\sqrt{3}}{2}\\ x \geq \frac{\sqrt{3}}{2} \ \ \end{matrix} \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \Bigg \lbrack \begin{matrix} -1 \leq x \leq - \frac{\sqrt{3}}{2}\\ x \geq \frac{\sqrt{3}}{2} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\)
Ta có \((pt \ 1) \Leftrightarrow \sqrt{x + 1}.\sqrt{x+3} + y - y\sqrt{x+3} = y^3 + \sqrt{x+1} - y^2\sqrt{x+1}\)
\(\Leftrightarrow \sqrt{x + 3}(\sqrt{x+1} - y) + (y - \sqrt{x+1}) = y^2(y - \sqrt{x+1})\)
\(\Leftrightarrow \(\sqrt{x+1} - y) (y^2 + \sqrt{x+3} - 1) = 0 \Leftrightarrow y - \sqrt{x+1} = 0\)
(do \(y^2 + \sqrt{x+3} -1 > 0, \forall x \geq -1\))
\(y - \sqrt{x-1} = 0 \Leftrightarrow y = \sqrt{x+1} \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y \geq 0 \ \ \ \ \ \ \\ y^2 = x +1 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y \geq 0 \ \ \ \ \ \ \\ y^2 - 1 = x \end{matrix}\right.\)
Thế vào (pt 2) ta được \(2x^2 (3x^2 + 1) = (x^2 + 1)(1 - 3x\sqrt{4x^2 - 3})\) (pt (*))
TH1: Với \(x \geq \frac{\sqrt{3}}{2}\)
PT (*) \(\Leftrightarrow \frac{6x^2 + 2x^2}{x^2 + 1} = 1 - 3x\sqrt{4x^2 - 3}\) (Phương trình vô nghiệm)
Do \(VT = \frac{6x^2 + 2x^2}{x^2 + 1} \geq \frac{\frac{27}{8} +2x^2}{x^2 + 1} > \frac{2+2x^2}{x^2 + 1} = 2\) còn \(VP = 1 - 3x\sqrt{4x^2 - 3} \leq 1\)
TH2: Với \(-1 \leq x \leq -\frac{\sqrt{3}}{2}\)
PT (*) \(\Leftrightarrow 6x^4 + 2x^2 = (x^2 + 1)(1 + 3\sqrt{4x^4 - 3x^2})\) chia hai vế phương trình này cho x4 ta được:
\(\Leftrightarrow 6 + \frac{2}{x^2} = \left ( 1 + \frac{1}{x^2} \right )\left (\frac{1}{x^2} + 3\sqrt{4-\frac{3}{x^2}} \right )\). Đặt \(t = \frac{1}{x^2}; \left ( t \in\left [ 1;\frac{4}{3} \right ] \right )\)
Ta được pt: \(6 + 2t = (1+t)(t+3\sqrt{4-3t}) \Leftrightarrow \frac{2t+6}{t+1} = t+3\sqrt{4-3t}\)
\(\Leftrightarrow \frac{2t+6}{t+1} - 4 = t-1+3(\sqrt{4-3t} - 1) \Leftrightarrow \frac{2-2t}{t+1} = t - 1 + \frac{3(3-3t)}{\sqrt{4-3t} + 1}\)
\(\Leftrightarrow (1-t)\left ( \frac{2}{t+1} + 1\right ) = \frac{9(1-t)}{\sqrt{4-3t} + 1} \Leftrightarrow \Bigg \lbrack \begin{matrix} 1-t = 0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ \frac{2}{t+1} + 1 = \frac{9}{\sqrt{4-3t}+1} \end{matrix}\)
+) Pt 1 - t = 0 ⇔ t = 1 được x = -1 ⇒ y = 0
+) Pt \(\frac{2}{t+1} + 1 = \frac{9}{\sqrt{4-3t} + 1}\) vô nghiệm vì \(t \geq 1 \Rightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{2}{t+1} + 1 \leq 2\\ \frac{9}{\sqrt{4+3t} + 1} \geq \frac{9}{2} \end{matrix}\right.\)
Kết luận: Hệ có đúng một nghiệm: (x; y) = (-1; 0)